Desigualdad: Buscar Min$S=\frac{a}{\sqrt{1-a}}+\frac{b}{\sqrt{1-b}}$

Question

Desigualdad: Hallar Min a, b> 0, a b = 1. Unesdoc.unesco.org unesdoc.unesco.org

Answer 1

Por desigualdad de Holder,$$LHS^2\cdot(2ab)=\left(\frac{a}{\sqrt b}+\frac{b}{\sqrt a}\right)^2(ab+ba)\ge(a+b)^3=1$ $

También sabemos que$2ab\le\frac12(a+b)^2=\frac12$. Usando esto en el anterior, obtenemos$$LHS\ge\sqrt2$ $

Como la igualdad se obtiene cuando$a=b=\frac12$, esto es, de hecho, entonces mínimo.

Answer 2

Para$x>0$, la función$f(x)=x^{-1/2}$ es convexa, por lo que usando$a+b=1$, tenemos $ af (b) bf (a) \ geq f (ab ba) = f (2ab ) = \ Frac {1} {\ sqrt {2ab}} \ geq \ frac {\ sqrt {2}} {a b} = \ sqrt {2}. $$ La segunda desigualdad anterior usa$(a+b)^2\geq 4ab$. Todas las igualdades anteriores se alcanzan cuando$a=b=\frac{1}{2}$.

Answer 3

No tiene "Min S" si no tiene restricciones para$a$ y$b$, ya que$$f(x)=\frac{x}{\sqrt{1-x}}$ $ es una función creciente.

Tenga en cuenta que$$f'(x)=\frac{\sqrt{1-x}+ x\frac{1}{2\sqrt{1-x}}} {1-x}=\frac{\frac{1}{2}(1-x)+\frac12} {(1-x)\sqrt{1-x}}>0$ $