Fluctuaciones de energía en el conjunto cuántico canónico

Question

¿Cómo podría demostrar que en el conjunto cuántico canónico (es decir, en la formulación de la matriz de densidad y del operador), las fluctuaciones de energía, a saber $\langle H^2\rangle - \langle H\rangle^2$ es la misma que en el caso clásico, es decir $k_b T^2 C_V$ ?

He visto muchos libros que lo afirman, pero no encuentro una derivación formal similar a la clásica, como se indica aquí por ejemplo.

Answer 1

La prueba de la mecánica cuántica es, en realidad, bastante idéntica a la clásica que aparece en el enlace. Simplemente se sustituye la integral sobre el espacio de fase por una traza sobre los estados en el espacio de Hilbert. El operador de densidad de equilibrio es $$ \rho = \frac{e^{-\beta H}}{Z},$$ donde la función de partición es $Z = \mathrm{Tr}(e^{-\beta H})$ y la temperatura inversa es $\beta = 1/k_BT$ . Explícitamente, el valor esperado de la energía viene dado por $$ \langle H \rangle = \frac{1}{Z}\mathrm{Tr}(H e^{-\beta H}) = -\frac{1}{Z} \frac{\partial}{\partial\beta} \mathrm{Tr}(e^{-\beta H}) = -\frac{1}{Z} \frac{\partial Z}{\partial\beta}. $$ Asimismo, debería encontrar $\langle H^2 \rangle = \frac{1}{Z}\frac{\partial^2 Z}{\partial\beta^2}$ y $$ C_V = \frac{\partial \langle H\rangle}{\partial T} = -\frac{1}{k_B T^2}\frac{\partial}{\partial\beta} \left[\frac{1}{Z} \mathrm{Tr}(H e^{-\beta H})\right] = \frac{1}{k_BT^2}\left(\langle H^2 \rangle - \langle H \rangle^2\right).$$ Tendrás que rellenar algunos pasos por ti mismo para demostrar la última igualdad.