Sea$(f_n)$ una secuencia de funciones continuas en$[a,b]$. Supongamos que, para cada$x\in[a,b]$,$(f_n(x))$ es una secuencia no creciente de números reales.
A) Probar que si$f_n\to 0$ punto en$[a,b]$, entonces$f_n\to 0$ uniformemente en$[a,b]$.
B) Probar que si$f_n\to f$ punta en$[a,b]$, y si$f$ es continua en$[a,b]$, entonces$f_n\to f$ uniformemente en$[a,b]$.
(a) Deje $ \epsilon > 0 $. Para cada una de las $ x \in [0,1] $, vamos a $ n_{x} \in \mathbb{N} $ ser el más pequeño entero positivo $ n $ tal que $ 0 \leq {f_{n}}(x) < \dfrac{\epsilon}{2} $; por la continuidad de $ f_{n_{x}} $, existe un abierto vecindario $ U_{x} $ $ x $ $ [0,1] $ tal que $ f_{n_{x}}[U_{x}] \subseteq [0,\epsilon) $. Como $ [0,1] $ es compacto y $ \{ U_{x} ~|~ x \in [0,1] \} $ es una cubierta abierta de a $ [0,1] $, podemos encontrar $ x_{1},\ldots,x_{k} \in [0,1] $ tal que $ \{ U_{x_{i}} \}_{i=1}^{k} $ es finita subcover. Entonces como $ (f_{n})_{n \in \mathbb{N}} $ es monótonamente decreciente de la secuencia de funciones, de ello se sigue que para todos los enteros $ n \geq N := \max(n_{x_{1}},\ldots,n_{x_{k}}) $, $ {f_{n}}(x) \in [0,\epsilon) $ todos los $ x \in U_{x_{i}} $, para cada una de las $ i \in \{ 1,\ldots,k \} $. En otras palabras, para todos los $ n \in \mathbb{N}_{\geq N} $,$ \| f_{n} \|_{\infty} < \epsilon $. Por lo tanto, como $ \epsilon $ es arbitrario, llegamos a la conclusión de que $ (f_{n})_{n \in \mathbb{N}} $ converge uniformemente a cero la función.
(b) De esta parte, simplemente definen $ g_{n} := f_{n} - f $ por cada $ n \in \mathbb{N} $ y aplicar la Parte (a) para la secuencia de $ (g_{n})_{n \in \mathbb{N}} $.
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