¿Cómo resolver este problema de límite? -$\lim_{n\to \infty}\ \left(\frac{\ n!}{(mn)^n}\right)^{\frac{1}{n}}$

Question

Necesito encontrar el valor de ...

ps

dónde $$\lim_{n\to \infty}\ \left(\frac{\ n!}{(mn)^n}\right)^{\frac{1}{n}}$

No sé ni siquiera empezar. ¿Alguien lo explicaría paso a paso, también qué tipo de forma indeterminada es ésta? ¿Hay algo más sencillo para resolver esto? Es decir, sin ningún teorema matemático alto etc.?

Answer 1

Utilice la aproximación de Stirling para$n!$

$n!\approx \sqrt{2\pi n}( \frac ne)^n$

ps

ps

Sea el límite anterior (excluyendo constante)$$\lim_{n\to \infty} \left(\frac{\sqrt{2\pi n}}{(em)^n}\right)^{\frac 1n}$

ps

La regla de L'Hopital aquí

Answer 2

No necesitas a Stirling.

{\ Nf} {\ n}} {\ nf} {\ n \ $ Entonces todo lo que necesitas es $ \ dfrac {(n!) ^ {1 / n}} {n} \ a \ dfrac {1} {e} $ para obtener que el límite sea $ \ dfrac1 {em} $.

$ \ Dfrac {(n!) ^ {1 / n}} {n} \ a \ dfrac {1} {e} $ se sigue de $ \ left (\ dfrac {n} {e} ! <\ Left (\ dfrac {n} {e} \ right) ^ {n 1} $. Estos, a su vez, se puede probar por inducción de $ \ left (1 \ dfrac1 {n} \ right) ^ n <e <\ left (1 \ dfrac1 {n} \ right) ^ {n 1} $ .

Answer 3

Trate de usar el hecho de que el límite de la raíz n de una serie es igual a (n 1) / a (n)

Answer 4

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Aplique la regla de l'Hôpital:

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• Para encontrar este límite$$\lim_{n\to\infty}\left(\frac{n!}{(mn)^n}\right)^{\frac{1}{n}}=\lim_{n\to\infty}\exp\left[\ln\left(\left(\frac{n!}{(mn)^n}\right)^{\frac{1}{n}}\right)\right]=$, observe:

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