El intervalo válido de la serie de Maclaurin para $\frac{1}{1+x^2}$

Question

La serie de Maclaurin para $\frac{1}{1-x}$ es $1 + x + x^2 + \ldots$ para $-1 < x < 1$.

Para encontrar la serie de Maclaurin para $\frac{1}{1+x^2}$, reemplazo $x$ por $-x^2$. La serie de Maclaurin para $\frac{1}{1+x^2}$ es $1 - x^2 + x^4 - \ldots$.

Esto es válido para $-1 < -x^2 < 1$ si reemplazo $x$ por $-x^2$. Entonces, si multiplico cada lado por $-1$, obtengo $-1 < x^2 < 1$. Si tomo las raíces cuadradas, obtengo $i < |x| < 1$. Y ahí me quedo atascado.

Y mi libro dice que esta serie de Maclaurin es válida para $-1 < x < 1 de todas formas. No hay más explicaciones.

¿Cómo puedo derivar $-1 < x < 1$ a partir de $i < |x| < 1? Por favor, ayuda.

Answer 1

La serie de MacLaurin para $\frac{1}{1-x}$ converge cuando $|x| < 1$. Si sustituimos $-x^2$ por $x$, entonces nuestro radio de convergencia es cuando $|-x^2| < 1 \implies |x^2| < 1 \implies -1 < x < 1$.

¡Espero que esto ayude!

Answer 2

Pista: ¿Para qué números reales $x$ es $$ -1 < x^2 < 1 ? $$ Ahí es donde te descarriaste.

No trates de aplicar una fórmula o cualquier cosa, simplemente observa el gráfico de $y = x^2$.

Answer 3

Tomar raíces cuadradas en $a

Pero hay que tener en cuenta que la solución de $-4< x^2$ es $-\infty-4.$

Dado que el cuadrado de un número real nunca es negativo, la desigualdad $-1

Esto es equivalente a $x^2-1<0$, que es $(x-1)(x+1)<0$. Un producto de dos números es negativo solo si uno de ellos es negativo y el otro es positivo. Dado que el segundo factor es mayor que el primero, necesita ser el que es positivo. Así que tenemos $x+1>0$ y $x-1<0$. Por lo tanto, $x>-1$ y $x<1.

Answer 4

La representación en serie para $f(x)=\frac1{1+x^2}$ está dada por

$$f(x)=\sum_{n=0}^\infty (-1)^nx^{2n}$$

para $|x|<1$, lo cual se puede demostrar usando el test de la raíz, por ejemplo (es decir, $\limsup_{n\to \infty}\sqrt[n]{\left|(-1)^nx^{2n}\right|}=x^2$ es menor que $1$ para $|x|<1$, y es mayor que $1$ para $|x|>1$). En los puntos finales, vemos trivialmente que la serie diverge.

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Alternativamente, podemos escribir

$$f_N(x)=\sum_{n=0}^N(-1)^nx^{2n}=\frac{1-(-x^2)^{N+1}}{1+x^2}$$

Para $|x|<1$, es directo mostrar que $\lim_{N\to \infty}f_N(x)=\frac{1}{1+x^2}$, mientras que para $|x|\ge 1$, la secuencia $f_N(x)$ diverge.