Mostrar si$f(x+y)=f(x)+f(y)$ para todos$x,y$ y$f$ es Lebesgue mensurable, entonces$f$ es continuo.

Question

Estoy tratando de resolver este problema $(5.8)$ de Bass' Análisis Real para los Estudiantes de Posgrado:

Mostrar que si $f:\Bbb{R}\to\Bbb{R}$ es Lebesgue medible y $$f(x+y)=f(x)+f(y)$$ for all $x,y\in\Bbb{R}$, then $f$ es continua.

Lo primero que nota es que es suficiente para mostrar que $f$ es continua en a $0$, ya que si este es el caso, entonces para cualquier $\epsilon>0$ $x_0\in\Bbb R$ existe $\delta>0$ tal que $|x|<\delta$ implica $|f(x)|<\epsilon$; en particular, la sustitución de $x$$x-x_0$, vemos a $|x-x_0|<\delta$ implica $|f(x)-f(x_0)|=|f(x-x_0)|<\epsilon$.

Ahora, lo que necesito mostrar a continuación, es que el $f^{-1}(-\epsilon,\epsilon)$ contiene algún intervalo en el origen. Sé que este conjunto es Lebesgue medible debido a $(-\epsilon,\epsilon)$ es Borel medible, y sé que lo contiene $0$ desde $f(0)=0$, pero no estoy seguro de cómo mostrar contiene $(-\delta,\delta)$ algunos $\delta$. No he usado el hecho de que el conjunto es Lebesgue medible, por lo que, obviamente, hay alguna manera de que puedo usar eso, pero yo no estoy viendo.

Alguna sugerencia?

edit: debido a que este ha sido etiquetado como un posible duplicado, debo señalar que me gustaría averiguar si la solución que yo estoy trabajando en el trabajo, en lugar de simplemente copiar una completamente diferente solución expuesta por algún otro usuario.

Answer 1

Nos muestran que $f$ es de la derecha continua en cero por considerar $f$ en el conjunto de $[0,1]$. Un argumento similar se aplica a $f$ $[-1,0]$ mostrará que $f$ es de izquierda continua en el origen. Por Lusin del teorema, existe un conjunto compacto $K\subset [0,1]$ $\mu(K)\geq 2/3$ que $f$ es uniformemente continua. Por lo tanto, no existe $0<\delta<1/3$ tal que para $x,y\in K$ si $\lvert x-y \rvert <\delta$,$\lvert f(x)-f(y)\rvert<\epsilon$. Considerar el traducir $K+h$ donde $0<h<\delta$. Entonces existe $a\in K\cap (K+h)$ (żpor qué?). Por lo tanto, $$ \lvert f(h)\rvert=\lvert f(a)-f(a-h)|<\epsilon $$ siempre que $0<h\leq\delta$ como se desee.