polinomio con entero positivo coeficientes divisible por 24?

Question

Tengo que demostrar que $n^4+ 6n^3 + 11n^2+6n$ es divisible por 24 para cada número natural n, así que me decidí a mostrar que este polinomio es divisible entre 8 y 3, pero estoy teniendo problemas para mostrar que es divisible por 8.

Divisible por 3: $$n^4+ 6n^3 + 11n^2+6n \equiv n^4+2n^2 \pmod3 $$$$n^4+2n^2 = n^2(n^2+2)=n^2(n^2-1)=n^2(n+1)(n-1)\equiv 0 \pmod3$$

Divisble por 8: $$n^4+ 6n^3 + 11n^2+6n \equiv n(n^3-2n^2-5n-2) \pmod8 $$$$n(n^3-2n^2-5n-2) = n(n+1)(n^2-3n-2) = n(n+1)(n^2+5n+6) = n(n+1)(n+2)(n+3) = ??? \pmod8$$

Así que parece que el polinomio tiene que ser divisible por cuatro, pero no estoy seguro de cómo mostrar que tiene que ser divisible por dos una vez más para demostrar que es divisible por 8.

Cualquier otro enfoque a la resolución de un problema son bienvenidos, ya que me estoy preparando para un examen y le agradezco tener múltiples formas de abordar el problema. Creo que este problema estaba destinado a ser un ejercicio de prueba por inducción, pero el otro enfoque parecía más accesible.

Answer 1

$n(n+1)(n+2)(n+3)$ es divisible por $8$ debido a que existen dos números y uno de ellos es divisible por $4$.

Answer 2

$$n^4+6n^3+11n^2+6n=n(n^3+6n^2+11n+6)=n(n+1)(n^2+5n+6)$$

$$=n(n+1)(n+2)(n+3)$$ which is a Product of $4$ números enteros consecutivos

Ahora a ver El producto de n enteros consecutivos es divisible por n factorial

Answer 3

Tenemos $$ n^4+6n^3+11n^2+6n=n(n+1)(n+2)(n+3)=24\binom{n+3}4. $$ Esta se asienta la reclamación al $n\ge1$. Para conseguir por todos los $n$ observa que todos los números enteros son congruentes a uno $>1$ modulo $24$.

Answer 4

Si escribimos el polinomio como una combinación lineal de combinatoria de polinomios, entonces el polinomio es divisible por $24$ para todos los argumentos enteros si y sólo si todos los coeficientes son divisibles por $24$. $$ n^4+6n^3+11n^2+6n=24\binom{n}{4}+72\binom{n}{3}+72\binom{n}{2}+24\binom{n}{1} $$ y, entonces, el polinomio es divisible por $24$ para todos los argumentos enteros.

Answer 5

Siempre se puede hacer un método de fuerza bruta. Verificación n=0,1,2,3,4,5,6,7

$$ n=0, n(n+1)(n+2)(n+3)=0(1)(2)(3)=0 (mod 8) $$ $$ n=1, 1(2)(3)(4)=24=0 (mod8) $$ $$....$$ $$n=7, 7(8)(9)(10)=7(0)(1)(2)=0 (mod8) $$

Esto es suficiente ya que si $$n=8m+r, r=0,1,2,3,4,5,6,7, m\in Z $$ $$ n(n+1)(n+2)(n+3)=(8m+r)(8m+r+1)(8m+r+2)(8m+r+3)=r(r+1)(r+2)(r+3)(mod8)$$