Prueba límite de $\big(e^x-1\big)\big/\big(e^{2x}-1\big)$ por epsilon-delta

Question

Estoy luchando para derivar estimaciones para delta para probar el siguiente límite,

$$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{e^x-1}{e^{2x}-1}=\frac{1}{2}$$

Lo que tengo: $$\forall \varepsilon >0, \exists \delta >0 \text{ such that } |x-0|<\delta \Rightarrow \left|\frac{e^x-1}{e^{2x}-1}-\frac{1}{2}\right|<\varepsilon.$$

Observe $$\frac{e^x-1}{e^{2x}-1}=\frac{1}{e^x+1}$$ y así tenemos

$$\left|\frac{1}{e^x+1}-\frac{1}{2}\right|=\left|\frac{e^x-1}{2(e^x+1)}\right|$$

Dado que la función exponencial es creciente para todo $x$ tenemos

$$|x|<\delta \\ \Rightarrow e^{-\delta}<e^x<e^\delta \\ \Rightarrow e^{-\delta}-1<e^x-1<e^\delta-1$$ y también $$\frac{e^\delta}{e^\delta+1}>\frac{1}{e^x+1}>\frac{1}{e^\delta+1}.$$

Esto es todo lo que he conseguido por el momento y claramente se vuelve bastante lioso cuando intento encontrar una forma explícita para $\delta(\varepsilon)$ . ¿He cometido algún error?

Gracias

Answer 1

Queremos asegurarnos de que $$\left|\frac{e^x-1}{2(e^x+1)}\right|\lt \epsilon.$$ Desde $e^x\gt 0$ para todos $x$ basta con asegurarse de que $$|e^x-1|\lt \epsilon,$$ es decir, $$1-\epsilon\lt e^x\lt 1+\epsilon.$$ Supongamos temporalmente que $\epsilon\lt 1$ . Entonces la desigualdad anterior se cumplirá si $$\ln(1-\epsilon)\lt x\lt \ln(1+\epsilon).$$ Sea $\delta=\min(\ln(2),\ln(1+\epsilon))$ . Si $|x|\lt \delta$ se cumplirá la desigualdad deseada.