Es el espacio de $C[0,1]$ completa?

Question

Con el fin de demostrar $C[0,1]$ es completa, mi análisis funcional libro dice:

"Sólo es necesario mostrar que cada secuencia de Cauchy en $C[0,1]$ tiene un límite".

Se pasa por suponer $\{x_n\}$ es una secuencia de Cauchy en $C[0,1]$. A continuación, para cada uno de ellos fijo $t \in [0,1]$ $|x_n(t)-x_m(t)| \le \|x_n - x_m\| \to 0$, por lo $\{x_n(t)\}$ es una secuencia de Cauchy de números reales. Supongo que esta desigualdad tiene sentido, ya que la diferencia de la función de las secuencias sería mayor que en el pointwise diferencia (en un $t$) de esas funciones.. Pero no entiendo cómo el autor podría concluir que la secuencia de $\{x_n(t)\}$ es de Cauchy.

Segunda pregunta: la explicación que sigue,

"Desde el conjunto de los números reales es completa, no es un número real $x(t)$ a que el squence converge; $x_n(t) \to x(t)$".

Sé conjunto de los números reales es completa, pero, ¿cómo puede $\{x_n(t)\}$ representa a todo el conjunto de los números reales?

Gracias,

Answer 1

Este es un caso particular de la declaración más general que si $K$ es un espacio métrico compacto, a continuación, $C(K)$ con la topología inducida por la $\sup$-la norma es completa.

Para probar esto usted hacer lo siguiente:

Usted necesita demostrar que el límite de cada secuencia de Cauchy con respecto a $\| \cdot \|_\infty$$C(K)$. Así que vamos a $f_n$ ser una secuencia de Cauchy en $C(K)$. En primer lugar usted necesita para encontrar lo que podría converger. En este caso (y en muchos otros casos) el límite de la función que converge en la norma es la misma que la de su pointwise límite de la función. Así:

(i) Demostrar que la pointwise la función de límite de $f$ existe. ¿Qué significa eso? Esto significa que $f(k)$ es finito para todos los puntos de $k$$K$. Así que vamos a $k$ ser un punto fijo en $K$. A continuación, considere la posibilidad de $f_n(k)$. Tenga en cuenta que esta es una secuencia de números reales. Deje $\varepsilon > 0$ y ahora, recuerde que usted escogió $f_n$ a ser una secuencia de Cauchy con respecto a $\| \cdot \|_\infty$. Así que usted ha $$ | f_n(k) - f_m(k) | \leq \sup_{k \in K} | f_n(k) - f_m(k) | = \| f_n - f_m \|_\infty < \varepsilon$$

Lo que muestra que $f_n(k)$ es una secuencia de Cauchy en $\mathbb{R}$ con respecto a la norma métrica. Pero usted sabe que $\mathbb{R}$ es completa, de modo que usted sabe que el límite de$f_n(k)$$\mathbb{R}$. Esto significa que el pointwise límite de $f(k) = \lim_{n \to \infty} f_n(k)$ existe.

(ii) a continuación se van a mostrar que $f_n$ también converge a $f$ en la norma, es decir, $\| f_n - f \|_\infty \xrightarrow{n \to \infty} 0$.

En otras palabras: por cada $\varepsilon > 0$ usted necesita encontrar un $N$ tal que para $n > N$$\| f_n - f \|_\infty \leq \varepsilon$.

Para esto vamos a $\varepsilon > 0$ y, a continuación, fijar un $N$ tal que para $n,m \geq N$$\| f_n - f_m \| < \frac{\varepsilon}{2}$. Usted puede hacer esto porque $f_n$ es de Cauchy, por supuesto. A continuación, utilice la desigualdad de triángulo para obtener

$$ \| f_n - f \|_\infty \leq \| f_n - f_N \|_\infty + \| f - f_N \|_\infty$$

Por cómo eligió $N$$\| f_n - f_N \|_\infty < \frac{\varepsilon}{2}$.

Usted también sabe que para$m \geq N$$\| f_m - f_N \|_\infty < \frac{\varepsilon}{2}$. A partir de esto se puede concluir que $\lim_{m \to \infty} \| f_m - f_N \|_\infty \leq \frac{\varepsilon}{2}$.

Pero esto significa que se ha demostrado que la $$ \| f_n - f \|_\infty \leq \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} =\varepsilon$$ para $n > N$, lo que significa exactamente eso $\| f_n - f \|_\infty \xrightarrow{n \to \infty} 0$.

(iii) En orden a la conclusión de que la $C(K)$ es completa, la última cosa que usted necesita probar es que el $f$ es continua y por lo tanto, en realidad, en $C(K)$. Así que vamos a $\varepsilon > 0$$k$$K$. Ahora quiere encontrar $\delta > 0$ tal que para $x$$d(k,x) < \delta$$|f(k) - f(x)| < \varepsilon$. El uso de la desigualdad de triángulo para obtener $$ |f(k) - f(x)| \leq |f(k) - f_n(k)| + |f_n(k) - f_n(x)| + |f_n(x) - f(x)|$$

para algunos $n$. Ahora que usted escoja $n$ tal que $|f(k) - f_n(k)| < \frac{\varepsilon}{3}$$|f_n(x) - f(x)| < \frac{\varepsilon}{3}$. A continuación, el $\delta$ usted está buscando va a ser la $\delta$ tal que $|f_n(k) - f_n(x)| <\frac{\varepsilon}{3}$ que sabe que existe porque $f_n$ son continuas. Por lo tanto $$ |f(k) - f(x)| < \varepsilon$$ and therefore $f$ es continua.

Tenga en cuenta que esto funciona para $K$ compact porque entonces las funciones continuas en $K$ son limitados y por lo $\|\cdot\|_\infty$ es en realidad una norma.

Usando un argumento similar se puede demostrar que el espacio delimitado funciones continuas en cualquier espacio topológico $X$ es completa. Hice esto en otro post aquí.

Espero que esto ayude.

Answer 2

Revisión $t_0$, $\epsilon > 0$. Desde $x_n$ son de Cauchy, existe $N > 0 | \forall n,m > N$ hemos $$||x_n - x_m || := \sup_t |x_n(t) - x_m(t)| < \epsilon$$In particular, for $t_0$, and the same $N$, for all $n,m > N$ we have $|x_n(t_0) - x_m(t_0)| < \sup_t |x_n(t) - x_m(t)| < \epsilon$.

Ahora sabemos que $x_n(t_0)$, sólo una secuencia de números reales obtenidos mediante la evaluación de las funciones de $x_1, x_2, x_3 \ldots$ $t_0$ es de Cauchy. Como una secuencia de Cauchy de números reales, debe ser una secuencia convergente.

Answer 3

Esto es más simple para probar si dividimos la demanda en algunas regiones. No le voy a dar las pruebas, ya que otros ya han hecho.

Teorema de 1a. Un uniformemente de Cauchy secuencia de $\mathbb K$valores delimitadas las funciones pointwise convergente a un almacén de la función.

Teorema 1b. Un uniformemente de Cauchy secuencia de $\mathbb K$valores delimitadas las funciones es uniformemente convergente a su pointwise límite.

Corolario 2. $B(X \to \mathbb K)$ es un espacio de Banach cuando está equipado con el uniforme de la norma.

Teorema 3. Deje $X$ ser un espacio de Hausdorff, $(Y,d)$ un espacio métrico y $f$ $f_n$ funciones de$X$$Y$. Si $(f_n)$ converge uniformemente a $f$ $X$ ( * ) y si cada una de las $f_n$ es continua en a$x \in X$, $f$ es continua en a $x$.

Corolario 4. $C_b(X \to \mathbb K)$, el conjunto de los delimitada funciones continuas en un espacio de Hausdorff $X$, es un subespacio cerrado de $B(X \to \mathbb K)$, por lo tanto, también es un espacio de Banach.

(*): es decir, para todos los $\varepsilon > 0$ existe un $N \in \mathbb N$ tal que $x \in X \land \mathbb N \owns n \geq N \implies d(f_n(x),f(x)) < \varepsilon$.

Answer 4

La norma que estamos trabajando con es $\newcommand{\abs}[1]{|#1|}\newcommand{\norm}[1]{\|#1\|}\norm f= \sup_{x\in[0,1]}\abs{f(x)}$. (No especifica la norma en su pregunta, pero supongo que es muy improbable que usted trabaja con algunos de los diferentes norma.)

A continuación, para cada uno de ellos fijo $t \in [0,1]$ $|x_n(t)-x_m(t)| \le ||x_n - x_m|| \to 0$, por lo $\{x_n(t)\}$ es una secuencia de Cauchy de números reales. Supongo que esta desigualdad tiene sentido, ya que la diferencia de la función de las secuencias sería mayor que en el pointwise diferencia (en un $t$) de esas funciones.. Pero no entiendo cómo el autor podría concluir que la secuencia de $\{x_n(t)\}$ es de Cauchy.

Bueno, acaban de demostrar que $|x_n(t)-x_m(t)|\to 0$. Esta es precisamente la definición de la secuencia de Cauchy.

La razón por la que la desigualdad de $\abs{x_n(t)-x_m(t)}\le\norm{x_n-x_m}$ es la definición de $\norm{\cdot}$. Para cada delimitada la función$f$$\abs{f(t)} \le \sup_{x\in[0,1]} \abs{f(x)}=\norm f$.

Sé conjunto de los números reales es completa, pero, ¿cómo puede $\{x_n(t)\}$ representa a todo el conjunto de los números reales?

Usted no necesita nada de eso. Ahora que se han corregido algunos $t\in[0,1]$ y se trabaja con una verdadera secuencia $\{x_n(t)\}$. Esta es una secuencia de números reales, por la integridad de la $\mathbb R$, la secuencia converge si es de Cauchy.

Después de que hemos demostrado que la secuencia de $\{x_n(t)\}$ es convergente, podemos denotar el límite (por este valor fijo de $t$)$x(t)$.

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Tal vez podría ser útil para que usted tenga una mirada en bastante detallada de la prueba de resultados similares en Matt respuesta aquí.