Integrando $ \int_0 ^ \infty \frac {1- \cos x }{x^2}dx$ a través de la integral de contorno.

Question

En las notas de Análisis Complejo de Stein, se da el siguiente ejemplo.

Luego proceden a calcular la integral sobre el pequeño semicírculo.

Mi pregunta es, ¿por qué es necesario esquivar el origen? Después de todo, la singularidad en $z=0$ es extraíble?

Answer 1

La singularidad es removible para la función que se quiere integrar pero no para su $f(z).$

Answer 2

La motivación de la pregunta parece ser: ¿Por qué el autor integra $f(z)=(1-e^{iz})/z^2$ sobre el plano complejo, en lugar del integrando original $g(z)=(1- \cos z)/z^2$ ? Tienes razón en que $g$ es una función completa, y podría integrarse en un semicírculo sin tener que esquivar el origen.

Sin embargo, la integral de $g$ sobre el arco $ \gamma_R ^+$ no obedece a un límite agradable. Mientras que la integración $f$ el autor necesita la desigualdad $$ \left | \frac {1-e^{iz}}{z^2} \right | \leq\frac {2}{|z|^2}, $$ que se justifica por el hecho de que $|e^{iz}| \leq 1$ para $z$ en el medio plano superior. No se puede decir lo mismo de $ \cos z=(e^{iz}+e^{-iz})/2$ en vez de eso, el $e^{-iz}$ El término es grande en el medio plano superior. Es por eso que $g$ es menos conveniente que $f$ .