La respuesta es sí. Lo demostramos al $n$ es un número primo utilizando el Chevalley-Advertencia teorema, entonces podemos generalizar para cualquier número entero $n$.
Deje $p$ ser un número primo. Dado $2p-1$ enteros $a_1,\dotsc,a_{2p-1}$, existe un subconjunto $I \subset \{1,\dotsc,2p-1\}$ contiene $p$ elementos que $\sum_{i\in I} a_i =0 \pmod p$.
Recordar el Chevalley-teorema de Advertencia : deje $p$ ser un número primo, $q$ ser una potencia de $p$, $\mathbb{F}_q$ ser el campo finito con $q$ elementos, y $(P_\alpha)_{\alpha\in A}$ ser una familia de elementos de $\mathbb{F}_q[X_1,\dots,X_m]$ tal que $\sum_{\alpha\in A} \deg{P_\alpha}<m$, y deje $V=\{x \in \mathbb{F}_q^m \mid P_\alpha(x)=0 \quad \forall \alpha \in A\}$. A continuación,$\operatorname{Card}{V}=0 \pmod{p}$.
Ahora nos fijamos $q=p$, y
$$
\begin{align}
P_1(X_1,\dotsc,X_{2p-1})&=\sum_{i=1}^{2p-1}X_i^{p-1}, \\
P_2(X_1,\dotsc,X_{2p-1})&=\sum_{i=1}^{2p-1}a_iX_i^{p-1}.
\end{align}
$$
Nuestra familia $(P_1,P_2)$ de polinomios cumple el requisito de que el teorema desde $\deg{P_1}+\deg{P_2}=2p-2<2p-1$. Por lo $p$ divide el cardenal de $V$, pero desde $V$ contiene la solución trivial $(0,\dotsc,0)$, existe otra (no trivial) solución de $(x_1,\dots,x_{2p-1}) \in (\mathbb{F}_p)^{2p-1}$.
Deje $I=\{1\leq i \leq 2p-1 \mid x_i \neq 0\}$. Desde
$$
x_i^{p-1}=\begin{cases} 1 &\text{if %#%#%} \\
0 &\text{if %#%#%}
\end{casos},
$$
tenemos
$x_i\neq 0$$
donde $x_i =0$ es para ser entendido como la suma de $$0=P_1(x_1,\dotsc,x_{2p-1})=(\operatorname{Card}{I})\mathbb{1}_{\mathbb{F}_p},$ copias de la unidad de elemento de $(\operatorname{Card}{I})\mathbb{1}_{\mathbb{F}_p}$. Por lo $\operatorname{Card}{I}$, por lo tanto $\mathbb{F}_p$ es igual a $\operatorname{Card}{I}=0 \pmod p$ o $\operatorname{Card}{I}$. Pero $0$ es no vacío, por lo $p$.
También tenemos
$$0=P_2(x_1,\dotsc,x_{2p-1})=\left(\sum_{i\in I} a_i\right)\mathbb{1}_{\mathbb{F}_p},
$$
por lo $I$ y el resultado de la siguiente manera.
Deje $\operatorname{Card}{I}=p$ ser cualquier número entero positivo. Dado $\sum_{i\in I} a_i=0 \pmod p$ enteros $n$, existe un subconjunto $2n-1$ contiene $a_1,\dotsc,a_{2n-1}$ elementos que $I \subset \{1,\dotsc,2n-1\}$.
Podemos demostrar esta propiedad $n$ por inducción. Si $\sum_{i\in I} a_i =0 \pmod n$ es un número primo, el resultado se sigue de la primera parte de mi respuesta. Así, podemos asumir que el $\mathcal{P}(n)$ donde $n$ $n=uv$ son dos enteros positivos. También vamos a suponer que las proposiciones $u<n$ $v<n$ son verdaderas.
Ya tenemos $\mathcal{P}(u)$ enteros, podemos seleccionar $\mathcal{P}(v)$ de ellos, de modo que su suma es divisible por $2n-1>2u-1$ : vamos a $u$ ser de ese subconjunto, y considerar el resto de $u$ enteros :
$$(a_i)_{i \in \{1,\dotsc,2n-1\}\setminus I_1}.
$$
Luego repetimos el proceso de selección de $I_1$ de los mismos, etc. Podemos hacerlo exactamente $2n-u-1$ a veces, después de lo que sólo hay $u$ enteros a la izquierda, y podemos tirar los.
Ahora vamos a $2v-1$. Escribimos $2n-1-(2v-1)u=u-1$ donde $S_1=\sum_{i\in I_1} a_i, \dotsc, S_{2v-1}=\sum_{i \in I_{2v-1}} a_i$ son enteros. A partir de la secuencia $S_j=uS_j'$, se puede aplicar la proposición de nuevo : no existe $S_j'$ tal que
$$
\sum_{j\J} S_j' = 0 \pmod v.
$$
Dejando $(S_1',\dots,S_{2v-1}')$ hemos
$$
\sum_{i\in I} a_i = 0 \pmod n,
$$
que es lo que queríamos desde $J\subset \{1,\dots,2v-1\}$.
