Incrustación del cono de la botella de Klein a $\mathbb R^4$

Question

Utilizando la dualidad de Alexander, podemos demostrar que $K\not\hookrightarrow \mathbb R^3$ y también podemos dar una fórmula explícita para $K\hookrightarrow\mathbb R^4$ (aquí $K$ es la botella Klein). ¿Qué tal el cono $CK$ ? ¿Se puede integrar en $\mathbb R^4$ ?

No puede incrustarse en $\mathbb R^4$ 'agradablemente', lo que significa que si uno considera cualquier $\epsilon$ -bola del punto de conificación, $K$ no puede incrustarse en el límite del balón. También he probado con secuencias exactas de homología y cohomología, y no me han dado ningún resultado.

Answer 1

El siguiente lema es un análogo del Corolario 3.46 en "Algebraic Topology" de Hatcher y se demuestra exactamente por el mismo método, usando la Dualidad de Alexander (usando cohomología con soporte compacto en lugar de la cohomología ordinaria como hace Hatcher):

Lema. Sea $X$ sea un subconjunto cerrado localmente contractible de $R^n$ . Entonces $H_c^{n-2}(X)$ es libre de torsión.

Corolario. Si $X$ es una zona conexa no orientable pseudomanifold de dimensión $n-1$ no puede integrarse correctamente en $R^n$ .

Pruebas. Tal $X$ tendrá $2$ -torsión en $H_c^{n-2}(X,{\mathbb Z})$ . qed

Ahora, volviendo al cono abierto $CK$ sobre la botella de Klein, es decir $(K\times [0,1))/(K\times 0)$ . Este espacio es un pseudomúltiplo conexo no orientable. Cada subconjunto abierto de $CK$ que contiene el vértice $a$ de este cono (la proyección de $K\times 0$ ) es también un pseudomanifold no orientable.

Supongamos que $CK$ incrusta en $R^4$ . Tome la intersección $Y$ de $CK$ con una bola abierta suficientemente pequeña $B(a,r)$ en $R^4$ . Utilice el homeomorfismo $B(a,r)\to R^4$ identificar $Y$ con un subconjunto cerrado $X\subset R^4$ . Obtenemos una contradicción con el Corolario anterior. Por lo tanto $CK$ no se integra en $R^4$ .

Nótese que este argumento es mucho más general se aplica a conos sobre variedades compactas no orientables de cualquier dimensión.

Editar. He aquí un argumento mejor que sustituye al lema y al corolario. Usaré la functorialidad del isomorfismo de dualidad de Alexander AD: Dado cualquier subconjunto cerrado $X\subset R^n$ tenemos un cuadrado conmutativo $$ \begin{array}{ccc} \check{H}^{n-1}_c(X; {\mathbb Z}) &\stackrel{AD}{\to} & \tilde{H}_0(R^n - X; {\mathbb Z}) \\ \alpha\downarrow & & \beta\downarrow \\ \check{H}^{n-1}_c(X; {\mathbb Z}/2)&\stackrel{AD}{\to} & \tilde{H}_0(R^n - X; {\mathbb Z}/2) \end{array} $$ Aquí la cohomología es la cohomología de Chech compactamente soportada. En el caso de que $X$ es localmente contractible, es naturalmente isomorfa a la cohomología singular compactamente soportada.

Ahora bien, si $X$ es homeomorfo a un pseudomúltiplo conexo no orientable de dimensión $n-1$ entonces el homomorfismo $\alpha$ no es suryectiva (ya que es un homomorfismo $0\to {\mathbb Z}/2$ ). Por otra parte, el homomorfismo $\beta$ es siempre suryectiva (como homomorfismo de $0$ -de grado). Por lo tanto, una pseudomanifold conectada no orientable de dimensión $n-1$ no puede estar topológicamente incrustada en $R^n$ . El resto del argumento es como el anterior.

Answer 2

Tengo una sugerencia para su problema.

La idea se debe, que yo sepa, a Hassler Whitney de los años 40, y se utilizó en un artículo de William Massey de los años 60 sobre una estimación de la firma de un colector cerrado de cuatro construido a partir de una superficie en $S^4$ .

Whitney observó que una superficie cerrada incrustada en cuatro espacios tiene un número de intersección bien definido que no requiere una orientación global para la superficie.

Elija una orientación local cerca de cada punto de intersección transversal de la superficie con una copia desplazada de sí misma.

Ambas ramas tienen ahora orientaciones que dan una orientación local del espacio cuatro que puede compararse con una orientación de fondo del espacio cuatro. Esto da un signo bien definido para el punto de intersección, tenga en cuenta el orden de las ramas no afecta el signo porque son incluso dimensional.

Cambiar la orientación local en la superficie cambia la orientación en cada rama, así que dos signos menos.

Es una construcción sutil y hermosa.

Estoy pensando que si la suma algebraica de estos es distinta de cero entonces obstruye la incrustación de un cono, porque de una incrustación de cono se obtendría una incrustación de la superficie $\times$ $\epsilon$ -lo que desplazaría la superficie de sí misma localmente, forzando la suma de Whitney a cero.

El siguiente lema es un análogo del Corolario 3.46 en "Algebraic Topology" de Hatcher y se demuestra exactamente por el mismo método, usando la Dualidad de Alexander (usando cohomología con soporte compacto en lugar de la cohomología ordinaria como hace Hatcher):

Lema. Sea $X$ sea un subconjunto cerrado localmente contractible de $R^n$ . Entonces $H_c^{n-2}(X)$ no tiene torsión.

Corolario. Si $X$ es una zona conexa no orientable pseudomanifold de dimensión $n-1$ no puede integrarse correctamente en $R^n$ .

Prueba. Tal $X$ tendrá $2$ -torsión en $H_c^{n-2}(X,{\mathbb Z})$ . qed

Ahora, volviendo al cono abierto $CK$ sobre la botella de Klein, es decir $(K\times [0,1))/(K\times 0)$ . Este espacio es un pseudomúltiplo conexo no orientable. Cada subconjunto abierto de $CK$ que contiene el vértice $a$ de este cono (la proyección de $K\times 0$ ) es también un pseudomanifold no orientable.

Supongamos que $CK$ incrusta en $R^4$ . Tome la intersección $Y$ de $CK$ con una bola abierta suficientemente pequeña $B(a,r)$ en $R^4$ . Utilice el homeomorfismo $B(a,r)\to R^4$ identificar $Y$ con un subconjunto cerrado $X\subset R^4$ . Obtenemos una contradicción con el Corolario anterior. Por lo tanto $CK$ no se integra en $R^4$ .

Nótese que este argumento es mucho más general se aplica a conos sobre variedades compactas no orientables de cualquier dimensión.

Edita. He aquí un argumento mejor que sustituye al lema y al corolario. Usaré la functorialidad del isomorfismo de dualidad de Alexander AD: Dado cualquier subconjunto cerrado $X\subset R^n$ tenemos un cuadrado conmutativo $$ \begin{array}{ccc} \check{H}^{n-1}_c(X; {\mathbb Z}) &\stackrel{AD}{\to} & \tilde{H}_0(R^n - X; {\mathbb Z}) \\ \alpha\downarrow & & \beta\downarrow \\ \check{H}^{n-1}_c(X; {\mathbb Z}/2)&\stackrel{AD}{\to} & \tilde{H}_0(R^n - X; {\mathbb Z}/2) \end{array} $$ Aquí la cohomología es la cohomología de Chech compactamente soportada. En el caso de que $X$ es localmente contractible, es naturalmente isomorfa a la cohomología singular compactamente soportada.

Ahora bien, si $X$ es homeomorfo a un pseudomúltiplo conexo no orientable de dimensión $n-1$ entonces el homomorfismo $\alpha$ no es suryectiva (ya que es un homomorfismo $0\to {\mathbb Z}/2$ ). Por otra parte, el homomorfismo $\beta$ es siempre suryectiva (como homomorfismo de $0$ -grupos de homología reducida de grado). Por lo tanto, una pseudomanifold conectada no orientable de dimensión $n-1$ no puede estar topológicamente incrustada en $R^n$ . El resto del argumento es como el anterior.

El cono de un colector no es realmente un psuedomanifold cerrado.

¿Puede describir la incrustación de la botella Klein $\times$ ¿intervalo?

En cuanto al "mejor argumento" que se ha escrito, me gusta esta prueba. Muestra la intersección con el argumento del enlace refutando incrustaciones agradables, también funciona en espíritu para todas las incrustaciones topológicas usando cohomología, etc.

También muestra $X$ separa localmente $\mathbb{R}^n$ lo que, por supuesto, es intuitivo.