¿Continuidad depende de la función de la distancia?

Question

Estoy trabajando a través de un libro que se llama "Introducción a la Topología" y estoy trabajando actualmente en un capítulo relacionado con la métrica de los espacios y la continuidad. Esta es la forma en que mi libro define la continuidad en un punto:

Deje $(X,d)$ $(Y,d')$ ser métrica espacios, y deje $a\in X$. Una función de $f: X\to Y$ dijo ser continuas en el punto de $a\in X$ si se les da $\epsilon \gt 0$, hay un $\delta \gt 0$, de tal manera que $$d'(f(x),f(a)) \lt \epsilon$$ siempre que $x\in X$ y $$d(x,a)\lt \delta$$

Mi pregunta es esta: ¿es posible que una función puede ser continua en la métrica de los espacios de $(X,d)$ $(Y, d')$ pero no ser continua si una de las funciones de la distancia $d$ o $d'$ es cambiado a una distancia diferente de la función?

En otras palabras, ¿es la continuidad de una función depende de la distancia funciones que se usan para "medir"?

Answer 1

Sí. Ejemplo: Tomar la métrica donde $d(x,x) = 0$ $d(x,y)=1$ $x\neq y$ y la de Euclides métrica. En la primera, todas las funciones son continuas y en el segundo se pueden encontrar no-funciones continuas

Answer 2

Sí, se hace depender de la métrica, pero indirectamente.

En un espacio métrico como $(X,d)$ $(Y,d')$ uno define la topología $\mathcal{T}_d$ o $\mathcal{T}_{d'}$ inducida por la métrica. Esta es la más pequeña de la topología de tal manera que todos los "abrir bolas" $B(x,r) = \{y \in X: d(x,y) < r\}$ (donde $x \in X, r>0$) de la métrica están abiertas.

La continuidad de la $f: (X,d) \to (Y,d')$ sólo depende de $\mathcal{T}_d$$\mathcal{T}_{d'}$; es puramente topológica de la noción. Pero podemos demostrar que su criterio es simplemente una reformulación de la " $f$ $(\mathcal{T}_d,\mathcal{T}_{d'})$- continua en $a$" en términos de la métrica que define la topología.

Hay situaciones en las que la elección de un nuevo sistema - $d''$ $X$ le dará la misma topología para $\mathcal{T}_d = \mathcal{T}_{d''}$, o del mismo modo en $Y$. En ese caso las métricas que se llaman equivalentes. En caso de que la continuidad no es afectado por el cambio de la métrica.

Pero si $d$ es el estándar de la métrica en la $\mathbb{R}$, lo $d(x,y) = |x-y|$, y definimos otro métrica $d'(x,y) = |x| + |y|$ (si $x \neq y$ $d'(x,y) = 0$ lo contrario), resulta que la continuidad de la función en $(\mathbb{R},d)$ $0$ no se ve afectado por el cambio de la métrica de $d$ $d'$(manteniendo el codominio de la misma), pero en todos los demás puntos de $p \neq 0$ cualquier función $f$ siempre es continua en a $p$ $d'$ métrica. Las topologías $d$ $d'$ son no-equivalente en $\mathbb{R}$: en $d$, $\{1\}$ no está abierto, pero en $d'$ es.

Answer 3

Es absolutamente posible. Si pones la métrica discreta en $X$ (es decir, la métrica definida por $d(x,y) = 1$ al$x \neq y$$d(x,x) = 0$), entonces cualquier función de $f:X \to Y$ es continua porque cualquier conjunto en $X$ está abierto. Por lo tanto, para exampl, podemos tomar cualquier función de $f:\mathbb R \to \mathbb R$ que es discontinuo con el estándar de la métrica en la $\mathbb R$ y va a ser continua, si reemplazamos la métrica en el espacio de origen por la métrica discreta.

Answer 4

Sí, la continuidad depende de la topología.

Intuitivamente, la continuidad de la $\ f:X \to Y$ significa que cuando usted toma cualquier punto de $x \in X$, si algunos puntos están "cerca" a $x$, a continuación las imágenes de los puntos debe ser cercana a la $f(x)$.

En un espacio discreto, todos los puntos están lejos. En algunas otras topologías, este no es el caso.

Si $X$ tiene la topología discreta, entonces "si algunos puntos están cerca de $x$" nunca ocurre, por lo tanto, la afirmación "si algunos puntos están cerca de $x$, a continuación, sus imágenes son cerca de $f(x)$" es trivialmente verdadera (independiente de la topología en $Y$).

Por otro lado, si $X$ tiene un no-topología discreta, pero $Y$ tiene la topología discreta, entonces significa que hay algunos puntos que están "cerca" a $x \in X$. Sin embargo, los puntos de nunca estar cerca de $f(x)$ (a menos que se $f(x)$) por $Y$ tiene la topología discreta.

Answer 5

Tomar los espacios de $X= \mathbb{R}$ con el discreto métrica y el espacio $Y=\mathbb{R}$ con el euclideian métrica $d(x,y)=|x-y|$ la función de $f(x)=1$ si $x=0$ $f(x)=0$ si $x \neq 0$ es continuo con el hecho de que la imagen inversa de un conjunto abierto es abierto y que en un espacio diferenciado de cada conjunto es abierto.

Pero en $X$ si cambia la métrica discreta con la euclideian métrica, a continuación, $f$ no es continua.