Tiene la ecuación
$a^3-5b^2$=2
cualquier entero soluciones ?
Con la fuerza bruta, he comprobado que una debe ser mayor que 10^9.
Respuesta
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Esta ecuación no tiene soluciones integrales; de hecho, no tiene racional. Para confirmar esto, empezar sustituyendo $a=\frac{1}{5}x, b=\frac{1}{25}y$, lo que produce $$x^3 - 250 = y^2$$
It's clear that rational solutions of the original equation correspond to rational solutions of the new one and vice versa. Equation of this kind defines so-called elliptic curve and there are known methods for calculating the integer/rational points on such curves.
As an example, PARI/GP shows the following (the vector $[0,0,0,0,-250]$ describe la curva):
? e=ellinit([0,0,0,0,-250]);
? ellgenerators(e)
[]
? elltors(e)
[1, [], []]
La primera parte de la salida (= vector vacío) muestra que no existen puntos racionales de la curva de orden infinito. La segunda parte muestra que el subgrupo de torsión de la curva es demasiado trivial, por lo que no hay no-trivial de puntos racionales de orden finito. Juntos, no hay puntos racionales de la curva, por lo que no puede ser cualquier número entero soluciones a la ecuación original.
