En la página 257 del libro de QFT de Peskin se da un esquema cualitativo del acoplamiento QED (ver la imagen de abajo). ¿Por qué debería esperar este comportamiento de la QED? La función beta de la QED es $$\beta_{qed}=\mu\frac{dg}{d\mu}=\frac{g^{3}}{12\pi^{2}}$$ Entonces, ¿por qué el punto fijo no es cero? ¿Es necesario ir más allá de un bucle? ¿Es esta cifra suficiente para determinar que la QED tiene un estado ligado de electrones o fotones en energías suficientemente altas?
Esto es como el método del equilibrio dominante (para resolver ecuaciones diferenciales). La ecuación de la función beta que has escrito, sólo es cierta aproximadamente cuando la escala de energía es mucho mayor que la masa del electrón.
Con la energía suficiente para crear un bucle con un electrón virtual, la evolución de $\alpha(r)$ va como $$\frac{1}{\alpha(r)} = \frac{1}{\alpha(r_0)} + \lambda \log(\frac{r}{r_0})$$
Así que la evolución de RG sigue como esperas, hasta que sobre la escala $r < m^{-1}$ .
A energías más pequeñas, el otro término (despreciado) de la función beta se vuelve cada vez más importante, ya que $g^3$ es bastante pequeño. Debido a este cruce, el acoplamiento deja de renormalizarse después de esta escala (masa del electrón) y se congela en el valor $\alpha^* \sim \alpha (m^{-1})$ y este es el valor de la constante de acoplamiento para $r > m^{-1}$ . Por lo tanto, el gráfico se aplana antes de que el acoplamiento sea cero.
Para $r > m^{-1}$ el potencial entre dos cargas estáticas distantes es entonces $V(r) \sim \dfrac{\alpha^*}{r}$ y estamos en la "fase de Coulomb".
Si el electrón no tuviera masa, entonces el acoplamiento seguiría variando incluso a escalas de longitud mayores, y el potencial entre dos cargas, para $r \to +\infty$ , se vería como $$V(r) \sim \dfrac{\alpha(r)}{r} \sim\dfrac{1}{r \log r}$$
No tengo el libro conmigo, pero en alguna parte (quizás en el mismo capítulo), se habla del potencial que sienten dos cargas eléctricas en el espacio real. En el espacio del momento, el potencial es aproximadamente $\alpha(p)/p^2$ que se puede transformar de nuevo al espacio real, para las cargas estáticas, llamando $\alpha(r)$ lo que es diferente de $1/r$ en el potencial (es decir $\alpha(r)\equiv r V(r)$ ).
Entonces, podemos preguntarnos el significado del gráfico. A partir del flujo de renormalización de $\alpha(\mu)$ sabemos que $\alpha$ aumenta cuando $\mu$ aumenta, es decir, a alta energía, la constante de interacción es mayor y el potencial en el espacio real será mayor a corta distancia (porque corta distancia "=" alta energía). La imagen física es que cuando se mira más cerca que la longitud Compton del electrón (del orden 1/m), la carga desnuda está menos apantallada por las fluctuaciones del vacío de los pares electrón-positrón.
Si el electrón no tuviera masa, el flujo RG de $\alpha(\mu)$ implicaría que $\alpha$ llega a cero a una distancia muy grande. Sin embargo, la masa del electrón detiene el flujo a $\mu\simeq m$ y $\alpha(\mu)=1/137$ para $\mu<m$ es decir, el potencial en el espacio real es el potencial de Coulomb habitual que se comporta como $1/r$ .
(Por cierto, no existe ningún estado límite de electrones y fotones...)
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