Exterior (covariante) los derivados y el electromagnetismo

Question

Estoy portar las ecuaciones de Maxwell a una curva el espacio-tiempo y estoy teniendo problemas para conciliar el tensor y formas de tratamientos. Creo que el problema se reduce a un malentendido de mi parte sobre el exterior de la derivada covariante en lugar de sólo el exterior de derivados, pero eso es sólo una conjetura. Así, en el espacio-tiempo de Minkowski tenemos

$$ F_{\mu \nu} = A_{\nu,\mu}-A_{\mu\nu}\text{, }F_{[\mu \nu , \kappa]}=0 $$

y

$$ F=\text{d}\text{, }\text{d}F=0, $$

la equivalencia de que es fácil de demostrar. Sin embargo, supongamos que estamos trabajando en la curva el espacio-tiempo. Tenemos

$$ F_{\mu \nu} = A_{\nu;\mu}-A_{\mu;\nu}\text{, }F_{[\mu \nu ; \kappa]}=0. $$

Sin embargo, la relación de los coeficientes en la covariante derivados perfectamente cancelar, por lo tanto el tensor de expresiones son equivalentes entre sí. Sin embargo, supongamos que hemos de intentar poner en el espacio plano de las formas de expresión en el espacio-tiempo curvo, girando el exterior derivado en un exterior derivada covariante. Empezamos con

$$F = \text{d}_DA$$

y, a continuación, (ingenuamente?) encontrar

$$ \text{d}_DF =\text{d}_D \text{d}_D = \Omega \wedge \neq 0 $$

donde $\Omega$ es la curvatura de la 2-forma. Así que de repente el tensor y formas de métodos parecen dar versiones diferentes de las leyes de Maxwell. Es que uno no está obligado a emplear la covariante exterior derivado en esta situación? Tal vez estoy seriamente falta algo, pero parece que el exterior de la derivada covariante es mucho menos mencionar que en la relatividad, si es necesario implementar formas en todo en curvas colectores! La estrella de Hodge curso contiene información acerca de la métrica, pero parece como aquí llegamos a una incoherencia antes de la necesidad de invocar a encontrar las otras dos las ecuaciones de Maxwell.

Gracias por la comprensión.

Answer 1

En el lenguaje de las formas diferenciales, la de Maxwell-Lorentz ecuaciones son simplemente $$\begin{eqnarray*}\mathrm{d}\!\star\!F = J/\lambda_0 &\text{,}\quad&\mathrm{d}F = 0\text{,}\end{eqnarray*}$$ donde $1/\lambda_0$ es la impedancia característica del espacio libre, y puede ser fijado a $1$ en unidades apropiadas.

Desde ese punto de vista, todo lo que necesita para "mover" a una curva el espacio-tiempo es darse cuenta de que el único lugar donde la métrica surge es la de la Hodge doble operador $\star$.

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Esto era lo que yo esperaba en un principio, pero tengo miedo por la existencia del exterior derivada covariante -- no puedo entender por qué es necesaria si el exterior de derivados, ya que se comporta de manera geométrica.

Como ya se dijo, el diferencial de la estructura no se preocupa de la métrica o el colector de conexión, y por lo tanto no la curvatura. Esto es simplemente un asunto de cómo se definen, y por lo tanto el espacio-tiempo curvo importaría el exterior de derivados, sino que sólo tiene un diferente dual de Hodge.

Sin embargo, hay una manera informal para motivar esto por analogía, que es lo que deduzco que estás pidiendo (esto no es claro, por lo que supongo). Recordemos que la noción de derivada covariante para campos escalares es particularmente trivial e independiente de curvatura: $$\nabla_u \phi = u^\mu\phi_{,\mu}\text{.}$$ El mismo tipo de cosa que sucede con la covariante exterior de derivados. Recuerdo el $k$-formas son ciertos tipos de mapas en el formulario $$\omega_p: (T_pM)^k\to\mathbb{R}\text{,}$$ y por lo tanto son valores escalares.

Por otro lado, se puede considerar una especie de generalizada de la forma que toma valores en algunos vector paquete sobre el colector, y tratar de tener un "exterior derivado" con $\mathrm{d}$ que actúa sobre cada componente de manera arbitraria. Generalmente, esto no funciona sin una conexión en la que el vector paquete, con una notable excepción, donde los valores tomados son en realidad son escalares, desde entonces todas las bases posibles para esta $1$-dimensional espacio vectorial son sólo proporcional a la una de la otra.

Así, el corto de él es que el exterior de derivados tiene sentido, independientemente de la curvatura y la covariante exterior derivados de no hacer nada interesante para el común de los valores escalares de las formas.

Answer 2

El cálculo de las formas ya está bien definido en la curva de colectores, así que usted puede utilizar $d$ a la derecha del palo.