Ampliación de Taylor para $\frac{1}{x^2 + 2x + 2}$

Question

Estoy tratando de encontrar la expansión de Taylor de la función: $$ f(x) = \frac{1}{x^2 + 2x + 2} $$ sobre el punto $ x = 0 $ . He elaborado los términos hasta la cuarta derivada, lo que ha sido muy tedioso. He encontrado: $$ f(x) = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} x + \frac{1}{4} x^2 + 0 x^3 - \frac{1}{8} x^4 + O \left( x^5 \right) $$ Observo potencias de dos en el denominador, pero no estoy seguro del patrón (y calcular el siguiente término para confirmarlo implicaría otra tediosa regla del producto).

¿Alguna idea? Gracias.

Answer 1

Aquí presentamos un enfoque que utiliza la expansión de fracciones parciales. Procediendo, escribimos

$$\begin{align} \frac{1}{x^2+2x+2}&=\frac{1}{i2}\left(\frac{1}{x+1-i}-\frac{1}{x+1+i}\right)\\\\ &=\text{Im}\left(\frac{1}{x+1-i}\right)\\\\ &=\text{Im}\left(\frac{1}{1-i}\frac{1}{1+\frac{x}{1-i}}\right)\\\\ &=\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n\sin((n+1)\pi/4)}{2^{(n+1)/2}}\,x^n\\\\ &=\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}\sin(n\pi/4)}{2^{n/2}}\,x^{n-1}\\\\ &=\frac12-\frac x2 +\frac{x^2}{4}+\cdots \end{align}$$

Answer 2

Tenga en cuenta que $$f(x)=\frac{1}{x^2 + 2x + 2}=\frac{1/2}{1+(x+x^2/2)}\\=\frac{1}{2}\left(1-(x+x^2/2)+(x+x^2/2)^2-((x+x^2/2)^3+o(x^3)\right).$$ En general, para cualquier número entero positivo $n$ , $$2f(x)=1+\sum_{k=1}^n x^k(1+x/2)^k+o(x^n)= \sum_{k=1}^n (-1)^k\sum_{j=0}^{n-k} \frac{1}{2^j}\binom{k}{j}x^{j+k}+o(x^n)\\ =1+\sum_{k=1}^n \frac{x^m}{2^m}\left(\sum_{k=1}^m(-2)^k\binom{k}{m-k}\right)+o(x^n).$$

P.D. Tenga en cuenta que $a_m$ el coeficiente de $x^m$ está relacionada con la secuencia A009116 . De su función generadora se deduce inmediatamente que satisface la secuencia lineal $$a_{m+1}=-\left(a_m+\frac{a_{m-1}}{2}\right).$$

Answer 3

Puedes escribir $$ f(x) = \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{1+(x+\frac{x^2}{2})}. $$ Configurar $\stackrel{\rm def}{=} x+\frac{x^2}{2}\xrightarrow[x\to0]{}0$ se puede utilizar la expansión de Taylor de $\frac{1}{1+u} = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n u^n$ alrededor de $0$ para conseguir $$\begin{align} f(x) &= \frac{1}{2}\left(1-u+u^2-u^3+u^4+o(u^4)\right)\\ &= \frac{1}{2}\left(1-(x+\frac{x^2}{2})+(x+\frac{x^2}{2})^2-(x+\frac{x^2}{2})^3+(x+\frac{x^2}{2})^4+o(x^4)\right)\\ &= \frac{1}{2}\left(1-x-\frac{x^2}{2}+(x^2+x^3+\frac{x^4}{4})-(x^3+\frac{3}{2}x^4)+x^4+o(x^4)\right) \end{align}$$ (donde al expandirnos despreciamos todos los términos $x^k$ para $k>4$ ), que da $$\begin{align} f(x) &= \frac{1}{2}\left(1-x+\frac{x^2}{2}-\frac{1}{4}x^4+o(x^4)\right) \end{align}$$ es decir, el resultado que has encontrado. Tenga en cuenta que con esta técnica, ir a la orden digamos $x^9$ es mucho más simple que diferenciando repetidamente 9 veces.

Answer 4

$$ x^2 + 2x + 2 = (x+1)^2 + 1 $$

y, con $\ s = x+1 \ $ tienes

$$ \frac 1{x^2 + 2x + 2} = \frac 1{(x+1)^2 + 1} = \frac 1{s^2 + 1} = \text{D} ( \arctan s ). $$

Ahora, basta con derivar la expansión de Taylor de $\ \arctan s \ $ y sustituirlo por $\ s = x +1 $

Answer 5

El patrón es $$ \frac{1}{x^2+2x+2}=\frac12+\sum_{k\in \Bbb{Z}^+ | k-3\not\in \Bbb{Z}} (-1)^\left\lfloor \frac34 k\right\rfloor2^{-\left\lfloor \frac{k}2+1\right\rfloor} $$ donde $\lfloor s \rfloor$ significa el mayor número entero que no exceda de $s$ y la suma en $k$ omite los números de la forma $4n+3$ .

Así, $$ \frac12 - \frac{x}2 +\frac{x^2}{4} - \frac{x^4}{8} + \frac{x^5}{8} - \frac{x^6}{16} + \frac{x^8}{32} -\frac{x^9}{32} + \frac{x^{10}}{64} \cdots $$