Suponga que se nos da una extensión de los campos de número o $\mathfrak{p}$-ádico campos de número de $L/E/K$ donde cada extensión es abelian y $L/K$ es sólo supone Galois. Ahora tomar cualquier elemento $\sigma\in \textrm{Gal}(E/K)$. Podemos extender $\sigma$ a un elemento de $\tilde{\sigma}\in \textrm{Gal}(L/K)$. Si $\tilde{\eta}$ es otro ejemplo de extensión, $\tilde{\sigma}$ $\tilde{\eta}$ son conjugado por un elemento de a $\textrm{Gal}(L/E)$. De ello se desprende que $\textrm{Gal}(E/K)$ define una bien definida de acción en $\textrm{Gal}(L/E)$ mediante la conjugación de elevación, ya que el resultado de la conjugación es independiente de la particular ascensor.
Mi pregunta es básicamente la siguiente: ¿esta acción nos da alguna información útil acerca de la extensión de $L/K$? ¿Se ajusta a la functoriality de campo de la clase de teoría de alguna manera? Por ejemplo, $E/K$ a ser cuadrática y $L/E$ a ser un abelian extensión de grado $4$, entonces tenemos que la acción es trivial si sólo si $L/K$ es también abelian, por lo que debe distingamos entre abelian extensiones y no abelian extensiones. Hasta qué punto puede esta ser empujado en general y la cantidad de información que podemos generalmente a salir de ella? Hay otras acciones de interés inducida por diferentes grupos que aparecen en el campo de la clase de teoría?
