Convergencia o divergencia de la serie $\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{n}\right)^{1+\frac{1}{n}}$

Question

Tengo problemas para determinar la convergencia de la serie $\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{n}\right)^{1+\frac{1}{n}}$ . Parece que es convergente dado que $(1+\frac{1}{n})>1$ para todo n, pero todavía no puedo demostrarlo rigurosamente.

¿Puede alguien ayudarme?

Answer 1

Tenga en cuenta que

$$ \lim_{n\to\infty} n^{1/n} = 1. $$

Así, tenemos

$$ \lim_{n\to\infty} \frac{\left(\dfrac{1}{n^{1+1/n}}\right)}{\left(\dfrac{1}{n}\right)}= 1. $$

Ahora puedes aplicar la prueba de comparación de límites para concluir que las series divergen a $+\infty$ .