Una pregunta sobre el acoplamiento entre la cuerda y el campo gauge $A_{\mu}$

Question

Tengo una pregunta sobre la derivación del término de acoplamiento de la cuerda y el campo gauge en la brana. Según Nota de la conferencia de David Tong p184/(191 en acrobat), el acoplamiento viene dado por

$$ S_{\mathrm{end-point}}=\int_{\partial M} d \tau A_{a}(X) \frac{d X^a}{d \tau} \tag{1} $$

Se dice que el acoplamiento se obtiene exponenciando el operador de vértice, "como se describe al principio de la sección 7", $$ V_{\mathrm{photon}} \sim \int_{\partial M} d \tau \zeta_a \partial^{\tau} X^a e^{ i p \cdot x} \tag{2} $$

Mi pregunta es sobre la lógica de exponenciar el operador de vértice.

En el comienzo de la sección 7 de la nota de clase, para obtener el acoplamiento entre la cuerda y los campos gauge, se extiende la acción de Polyakov en el espacio curvo $$ S= \frac{1}{4 \pi \alpha' } \int d^2 \sigma \sqrt{g} g^{\alpha \beta} \partial_{\alpha} X^{\mu} \partial_{\beta} X^{\nu} G_{\mu\nu}(X) \tag{7.1} $$

El acoplamiento proviene de la flexión del espaciotiempo, por ejemplo $$G_{\mu\nu} (X) = \delta_{\mu\nu} + h_{\mu\nu} (X) $$ $$ Z= \int \mathcal{D} X \mathcal{D} g e^{-S_{\mathrm{Poly}} -V} = \int \mathcal{D} X \mathcal{D} g e^{-S_{\mathrm{Poly}} } (1-V +\frac{1}{2} V^2 + \dots ) $$
$$ V= \frac{1}{4 \pi \alpha'} \int d^2 \sigma \sqrt{g} g^{\alpha \beta} \partial_{\alpha} X^{\mu} \partial_{\beta} X^{\nu} h_{\mu\nu}(X) \tag{7.2} $$

Para obtener la Ec. (1) a partir de (2), ¿dónde está la flexión de la métrica?

Answer 1

Aquí no hay una métrica bidimensional, porque estamos trabajando con el límite $\partial M$

Podrías imaginar una acción estándar $S_0 = \int_{\partial M} d\tau A_a \frac{d X^a}{d \tau}$ , donde $A_a$ es constante.

Con una pequeña perturbación, tendremos : $A_a(X) = A_a + \epsilon_a(X)$ y tenemos una acción $S = \int_{\partial M} d\tau A_a(X) \frac{d X^a}{d \tau}$

Una función de partición sería $Z = \int dX e^{-S_0 - V} = \int dX e^{-S_0}(1-V +\frac{1}{2} V^2 + \dots )$ con $V = \int_{\partial M} \epsilon_a(X)\frac{d X^a}{d \tau}$

$A_a(X)$ son estados coherentes de los fotones, ya que $G_{\mu\nu}(X)$ son estados coherentes de gravitones.

En cierto sentido, podemos considerar que el operador de vértice del fotón corresponde a un caso muy especial (no coherente) en el que $\epsilon_a(X) = \zeta_a e^{ip.x}$ de la misma manera que el operador de vértice del gravitón es un caso muy especial (no coherente) en el que $h_{\mu\nu}(X) = \zeta_{\mu\nu}e^{ip.x}$