Consideremos la secuencia definida por $a_0=a_1=1$ y $a_{n}=2a_{n-1}-3a_{n-2}$ .
Aquí se demuestra que $|a_n|\to +\infty $ . Me gustaría demostrar que $|a_n|>100$ cuando $n>10$ . ¿Cómo podemos hacerlo? (Además, ¿existe un límite inferior explícito para la secuencia $|a_n|$ ?)
Los primeros términos :
1, 1, -1, -5, -7, 1, 23, 43, 17, -95, -241, -197, 329, 1249, 1511, -725, -5983, -9791, -1633, 26107, 57113, 35905, -99529, -306773, -314959, 290401, 1525679, 2180155, -216727, -6973919, -13297657, -5673557, 28545857, 74112385, 62587199, -97162757, -382087111, -472685951, 200889431, 1819836715, 3037005137, 614500129, -7882015153, -17607530693, -11569015927, 29684560225, 94076168231, 99098655787, -84031193119, -465358353599, -678623127841, 38828805115, 2113526993753, 4110567572161, 1880554163063, -8570594390357, -22782851269903, -19853919368735, 28640715072239, 116843188250683, 147764231284649, -55001102182751, -553294898219449, -941586489890645, -223288285122943, 2378182899426049, 5426230654220927, 3717912610163707, -8842866742335367, -28839471315161855, -31150342403317609, 24217729138850347
Fórmulas explícitas :
\begin{align} a_n& =\frac{(1+i\sqrt2)^n+(1-i\sqrt 2)^n}{2}\\ &=(\sqrt3)^n\cdot \cos(n\cdot \theta) \end{align} donde $\theta = \tan^{-1}(\sqrt 2)$ .
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Tal vez ayude: ${ cos(n \cdot tan^{-1}(x)) = \frac{1}{(x^2+1)^{\frac{n}{2}}} \cdot \sum_{k=0}^{\lfloor\frac{n}{2}\rfloor} (-1)^k \binom{n}{2k} x^{2k}} $ así que cuando $x=\sqrt2$ , $${a_n=\cdot \sum_{k=0}^{\lfloor\frac{n}{2}\rfloor} (-1)^k \binom{n}{2k} 2^{k}}$$
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Una idea nada sencilla. Tenemos $\cos(n\theta)=\pm \sin(n\theta+k\pi+\pi/2)$ ( $k$ está en $\mathbb{Z}$ ). Sea $k=k_n$ tal que $|n\theta+k_n\pi+\pi/2|\leq \pi/2$ . Si $x\in [-\pi/2,\pi/2]$ tenemos $|\sin(x)|\geq \frac{2}{\pi}|x|$ así que $|\cos(n\theta)|\geq \frac{2}{\pi}|n\theta+(2k_n+1)\frac{\pi}{2}|=\frac{2}{\pi}A$ . Ahora usa una determinación del logaritmo, $A=|n\log (\exp(i\theta))+(2k_n+1)\log (i)|$ . Por el Teorema de Baker (Búscalo en Google...) existen constantes $c_1,c_2$ tal que $|\cos(n\theta)|\geq c_1n^{-c_2}$ pero hay mucho trabajo que terminar, es decir, encontrar explícitamente $c_1$ y $c_2$ ...