Oportunidad de casarse con una chica

Question

Mi novia del padre tiene una magia - feria - de la moneda, él se compromete a dejar que me case con su hija si puedo jugar a su juego: tengo que tirar la moneda par de veces hasta que vea la cabeza. Entonces, si el número de veces que me han dejado es divisible por tres, no me puedo casar a su hija, de lo contrario no se puede casar con su hija.

1. ¿Cuál es la posibilidad de que puedo casarme con mi novia?

2. Supongamos $0 < \alpha < 1$; se puede diseñar un juego como este, de tal manera que la probabilidad de ganar es $\alpha$? Su juego todavía requiere que el jugador para lanzar la moneda, pero que se permiten cambiar cuando se pase/no pase caso. ($\alpha\in\mathbb{Q})$

Esta es una muy buena e interesante la pregunta, pero no puedo resolverlo. Puede usted por favor ayuda?

Answer 1

La longitud de los de mayor tirada inicial de colas es una variable aleatoria que puede tomar los valores de $0,1,2,\ldots$ con una probabilidad de $1/2, 1/4, 1/8,\ldots$. La probabilidad de ganar es generalmente $$ P_{\text{ganar}}(\mathbf{a}) = \sum_{i=0}^{\infty}\frac{a_i}{2^i}, $$ donde $a_i=1$ si de una carrera de a $i$ colas seguido por una cabeza es un triunfo y $a_i=0$ si se trata de una pérdida. Usted puede ver que esto es sólo el número cuya representación binaria es $$ 0.a_0a_1a_2\ldots$$ Por ejemplo, la pregunta original (total voltea divisible por tres, es una pérdida) tiene probabilidad de ganar $$ 0.110110\overline{110} =\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{16}+\frac{1}{32}+\ldots=\frac{3/4}{1-1/8}=\frac{6}{7}. $$ En general, si quieres ganar probabilidad de ser cualquier $0<\alpha<1$, declaran que una carrera de $i$ colas seguido por una cabeza es un triunfo si y sólo si el $(i+1)$-ésimo dígito binario de $\alpha$$1$.

Answer 2

Sugerencias: Para 1, defina $a$ la probabilidad de ganar si el número de colas es $0 \pmod 3$, $b$ como la probabilidad de que usted gana si el número de colas es $1 \pmod 3$, $c$ como la probabilidad de que usted gana si el número de colas es $2 \pmod 3$ $a=\frac 12b$ porque si ya han arrojado varios de $3$ tiempos, usted sólo puede esperar colas y, a continuación, una victoria. Usted debe ser capaz de escribir otras dos ecuaciones, y tienen un conjunto de tres. Resolver.

Para el 2, creo que de la volteretas como la formación de una binaria de expansión, cabezas=1, colas=0. Cuando se tiene suficiente información para concluir si el número formado es mayor o menor que $\alpha$ anunciar el resultado, de lo contrario mantener un tirón. La carne de este.

Answer 3

Puedo responder a la primera parte.

La probabilidad de que usted recibe la cabeza en el 3er flip dado que los dos primeros son de las colas es = (1/2)^3

La probabilidad de que usted recibe la cabeza en la 6ª flip dado que las cinco primeras son las colas es =(1/2)^6

Probabilidad de que usted no puede casarse con su hija = (1/2)^3 + (1/2)^6 + ...

= (1/2)^3 / (1-(1/2)^3) = 1/7

Probabilidad de que usted puede casarse con su hija = 1 - 1/7 = 6/7