IMPORTE A PRORROGAR

Question

¿Hay alguna secuencia $a_n$ de números transcendental, que $ma_i\neq na_j$ para los números enteros m, n, i, j y cualquier suma parcial de $a_k$ es trascendental, pero la suma total es racional?

Answer 1

Recoger cualquier racional $r$ como para la suma, entonces lo elija racionales $r_1,r_2,\dots$ que $\sum a_n=r$,

donde $a_n=r_n/\pi^n$.

Answer 2

Sí. Que $\{\alpha_i\}$ ser una base de trascendencia de $\mathbb{R}$ sobre el encierro algebraico de $\mathbb{Q}$, y suponemos que son todas positivas. Recoger cualquier $\alpha$ y luego seleccione $n\in\mathbb{N}$ tal que $\frac{1}{2}\lt\alpha/n\lt 1$. Que $a_1= \alpha/n$.

Luego escoger $\beta\in\{\alpha_i\}-\{\alpha\}$ y encontrar $n\in\mathbb{N}$ tal que $$\frac{1}{2}(1-a_1)\lt \frac{\beta}{n} \lt 1-a_1,$$ y que $a_2 = \frac{\beta}{n}$.

Luego elija $\gamma\notin\{\alpha_i\}-\{\alpha,\beta\}$ y encontrar $n$ $$\frac{1}{2}(1-(a_1+a_2)) \lt \frac{\gamma}{n} \lt 1-(a_1+a_2)$ $ y que $a_3=\frac{\gamma}{n}$.

Haga espuma, enjuague, repita.

Answer 3

$a_n=\frac{1}{e}\frac{1}{n!}$ obras.

Cualquier finito suma de tales términos es del tipo $\frac{1}{e}$ veces un número racional, mientras que la suma total $\sum_{n=0}^\infty a_n =1$.

Revisado

$a_n=\frac{1}{e^n} (1-\frac{1}{e})=\frac{e-1}{e^{n+1}}$. De nuevo la suma es 1 y es fácil argumentar que satisface todos los requisitos de este tiempo.