De densidad de probabilidad bajo la nueva medida

Question

Deje $P$ $Q$ ser equivalente a dos medidas de probabilidad, y deje $dP=ZdQ$ algunos $Z$.

Si sé que la densidad de probabilidad de una variable aleatoria $X$ bajo medida $P$, ¿cómo puedo calcular la densidad de $X$ bajo medida $Q$? En otras palabras, si yo sé que $$P(X\le x)=\int\limits_{-\infty}^x f(s)\, ds,$$ para todos los verdaderos $x$, es posible encontrar una función de $g$ tal que $$Q(X\le x)=\int\limits_{-\infty}^x g(s)\, ds.$$

Answer 1

La definición de la Radón-Nykodym derivado $\dfrac{\mathrm dQ}{\mathrm dP}=U$ (su $Z$$Z=1/U$) es que, para cada evento,$A$, uno debe tener una $Q(A)=\mathbb E_P(U;A)$. Al $A=[X\leqslant x]$, esto es $Q(X\leqslant x)=\mathbb E_P(U;X\leqslant x)$ por lo cual se busca una función de densidad de $g$ tal que, para cada $x$, $$ \mathbb E_P(U;X\leqslant x)=\displaystyle\int_{-\infty}^xg(t)\mathrm dt. $$ En el caso especial cuando $U=\varphi(X)$, llamando $f_X$ la densidad de $X$, se obtiene $$ Q(X\leqslant x)=\mathbb E_P(\varphi(X);X\leqslant x)=\displaystyle\int_{-\infty}^x\varphi(t)f_X(t)\mathrm dt, $$ por lo tanto la función de $g=\varphi f_X$ es una densidad (no negativo, se integra a $1$) y resuelve tu pregunta.

En el caso general, llamando a $f_{U,X}$ la densidad de la distribución conjunta de $(U,X)$, la solución es $$ g(x)=\int_{0}^{+\infty} uf_{U,X}(u,x)\mathrm du. $$ Este se especializa en $g=\varphi f_X$ al $U=\varphi(X)$ y, en el otro extremo, a $g=f_X$ al $U$ $X$ son independientes. Sin embargo, estos casos son la excepción más que la regla, ya que, en general, $g$ no implican $f_X$ pero sólo la distribución conjunta de $(U,X)$.