Debe subgrupos comparten un elemento en común ser anidados en cada uno de los otros?

Question

Deje $H$ $K$ ser subgrupos de un grupo de $G$ que tienen un elemento en común, además de la identidad. Esto significa que cualquiera de las $H$ o $K$ es un subgrupo de otros?

Deje $a$ ser el elemento común, entonces ambos subgrupos contienen el subgrupo generado por a $a$. Sé que es posible que un subgrupo de a tiene un elemento que no está en otro subgrupo. Cualquier contraejemplos?

Answer 1

Alternativamente, (porque la libre grupos puede ser un poco difícil de imaginar), vamos a $G$$(\mathbb Z,+)$, y deje $H$ $K$ ser los subgrupos $2\mathbb Z$$3\mathbb Z$, respectivamente. A continuación, $H$ $K$ tiene todos los múltiplos de $6$ en común, pero ninguno de ellos es un subgrupo de la otra.

Answer 2

Deje $G$ ser el libre grupo de tres generadores. De modo que podemos tener $$ G = \langle a,b,c\rangle \qquad H = \langle a,b\rangle \qquad K = \langle a,c\rangle $$

Answer 3

En el grupo de cuaterniones, $\langle i\rangle$ $\langle j\rangle$ se cruzan en $\{1,-1\}$.

Los otros grupos con ocho elementos también tienen ejemplos de lo contrario, excepto en el grupo cíclico.

Answer 4

Espacios vectoriales son también grupos, como el grupo de operación. Subgrupos corresponden a subespacios. En el contexto de los espacios vectoriales, su pregunta es:

Deje $H$ $K$ ser subespacios de un espacio vectorial $G$ que tienen un elemento en común, además de la de origen. Esto significa que cualquiera de las $H$ o $K$ es un subespacio de los otros?

El problema es ahora más geométrica que algebraicas, y tal vez su intuición de que va a funcionar mejor. La respuesta es no: Vamos a $G=\mathbb R^3$ $H$ $K$ dos diferentes de dos dimensiones de los subespacios.

Desde su reclamo original falla para el caso particular de los espacios vectoriales, es falso. Álgebra lineal es a veces una buena forma de comprobar resumen algebraica de las ideas. Observe, sin embargo, que los espacios vectoriales son siempre abelian como grupos, y ni siquiera todos los abelian grupos son espacios vectoriales.

Answer 5

Considere la posibilidad de un cubo de Rubik con todas sus configuraciones posibles con la parte superior y el lado derecho rotaciones o en la parte superior y del lado izquierdo las rotaciones.
O, más simple, cualquier, al menos, $4$- elemento de la secuencia de permutaciones $(2,1,3,4)$ $(3,2,1,4)$ y con permutaciones $(2,1,3,4)$$(4,2,3,1)$.