para el principiante de la pregunta sobre el movimiento Browniano

Question

Acabo de empezar a aprender acerca de los procesos estocásticos y estoy confundida con la noción de movimiento Browniano. El texto define (lineal) movimiento Browniano con arreglo a la medida $\mathbb{P}$ $B=(B_t; t\geq 0)$ donde cada una de las $B_t$ es de alguna variable aleatoria tal que:

$\bullet$ $t\to B_t$ es una función continua

$\bullet$ $B_t$ se distribuye de la $N(0,t)$.

$\bullet$ $B_{s+t}-B_{s}$ se distribuye de la $N(0,t)$

Tengo algunas preguntas con respecto a esta definición. ¿Cuál es el espacio muestral (espacio de eventos) en la que cada variable aleatoria $B_t$ está definido? ¿Qué significa que $t\to B_t$ es continua? Es que para cada $\omega$ en el espacio muestral $t\to B_t(\omega)$ es continua? ¿Qué tipo de valores se $B_t$ tomando?

Esperemos que he formulado mi pregunta claramente. Cualquier ayuda es muy apreciada.

Answer 1

El movimiento Browniano $B$ es una asignación $$I \times \Omega \ni (t,w) \mapsto B(t,w) \in \mathbb{R}$$ where $I \subseteq \mathbb{R}$ (usually $I=[0,\infty)$ or $I=[0,1]$) and $(\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})$ is an arbitrary probability space. For fixed $w \ \ en \Omega$ la asignación de

$$I \ni t \mapsto B(t,w) \in \mathbb{R}$$

se llama recorrido de la muestra. Y estás en lo correcto: "$t \mapsto B_t$ continua" significa que la muestra rutas de $t \mapsto B_t(w)$ son continuas para todos los $w \in \Omega$.

(Como @TheBridge ya observado: Se le olvidó mencionar la independencia de los incrementos.)