Abierto denso subconjunto con pequeñas exterior medida

Question

Demostrar que para cualquier $\delta>0$ existe un abierto denso subconjunto $U$$\mathbb{R}$$\mu(U)<\delta$, donde la medida es la medida exterior.

No estoy seguro de cómo ir aquí. El conjunto $U$ debe ser denso (lo que para cualquier punto de $x\in\mathbb{R}$ existe un punto en $U$ arbitrariamente cerca de $x$), abierta (por lo que cualquier punto en $U$ tiene un barrio totalmente contenida en $U$), y, sin embargo, puede ser cubierto por una contables de la unión de los intervalos de muy pequeña longitud.

Answer 1

$\mathbb{Q}$ es densa. Deje $\{q_n : n \in \mathbb{N}\}$ enumerar $\mathbb{Q}$. Vamos $U = \bigcup_{n \in \mathbb{N}} B(q_n,\frac{\delta}{2^n})$. $U$ es abierto y tiene una medida de menos de $\delta$. Es denso, debido a que $\mathbb{Q} \subseteq U$.