No hay máximo(mínimo) de racionales cuyo cuadrado sea menor(mayor) que $2$ .

Question

Supongamos que $A$ es el conjunto de todos los números racionales $p$ tal que $p^2 <2$ y $B$ es el conjunto de todos los números racionales $p$ tal que $p^2 > 2$ . Queremos demostrar que $A$ no contiene ningún elemento mayor y $B$ no contiene el elemento más pequeño.

En Rudin's Principios del análisis matemático asocia $q = p- \frac{p^2-2}{p+2} = \frac{2p+2}{p+2}$ . ¿Se le ocurrió esto por ensayo y error?

Answer 1

La cuestión aquí es que las iteraciones de la Transformación de Möbius $p \mapsto \frac{2p+2}{p+2}$ convergen a $\sqrt{2}$ por lo que cada vez que aplicas la transformación te acercas más a $\sqrt{2}$ . Esto puede considerarse como la descripción de un fracción continua generalizada

$$2 - \cfrac{2}{4 - \cfrac{2}{4 - \cfrac{2}{\cdots}}}$$

para $\sqrt{2}$ . La dinámica de las transformaciones de Möbius en general se conoce bastante bien; para la transformación $p \mapsto \frac{ap+b}{cp+d}$ los posibles puntos fijos son las raíces del polinomio cuadrático $cp^2 + dp = ap + b$ y utilizando el Teorema del punto fijo de Banach (o una forma cerrada más específica de iteraciones de transformaciones de Möbius mediante álgebra lineal) se puede determinar cuáles de los puntos fijos son atractivos o repelentes.

Por lo tanto, si se quisiera diseñar una transformación de Möbius convergente a $\sqrt{n}$ para algún $n$ Esto requeriría que $d = a, c = 1, b = n$ , dando

$$p \mapsto \frac{ap + n}{p + a}$$

para algunos $a$ y no debería ser difícil encontrar un valor de $a$ tal que el punto fijo $\sqrt{n}$ es atractivo.

Aunque esta técnica es un buen truco, porque el polinomio $cp^2 + dp = ap + b$ es cuadrática, no se generaliza para demostrar el resultado correspondiente para raíces de polinomios cúbicos o de mayor grado.

Answer 2

A continuación muestro que la aproximación de Rudin surge simplemente aplicando por la método secante - una diferencia análoga al método de Newton para encontrar aproximaciones sucesivamente mejores a las raíces.

Como muestra el artículo de Wikipedia enlazado, la relación de recurrencia para el método de la secante es la siguiente.

$$\rm S_{n+1}= \dfrac{S_{n-1}\ f\:(S_n) - S_n\ f\:(S_{n-1})}{f\:(S_n)-f\:(S_{n-1})}\qquad\qquad\qquad\qquad$$

Para $\rm\ (S_{n-1},S_n,S_{n+1}) = (q,p,p')\ $ y $\rm\ f\:(x) = x^2-d\:,\:$ obtenemos

$$\rm p'\ =\ \dfrac{q\:(p^2-d) - p\:(q^2-d)}{p^2-d-(q^2-d)}\ =\ \dfrac{(p-q)\:(p\:q+d)}{p^2-q^2}\ =\ \dfrac{p\:q+d}{p+q}$$

Finalmente especializándose $\rm\: q = 2 = d\: $ se obtiene la aproximación de Rudin $\rm\displaystyle\ p'\ =\ \frac{2\:p+2}{\ \:p+2}$

El método de la secante tiene hermosas conexiones con la ley de grupos de cónicas. Para conocer este folclore muy recomendable Sam Northshield Asociatividad del método secante. El lector que ya esté familiarizado con la ley de grupos en curvas elípticas, pero que no esté familiarizado con el caso degenerado de las cónicas, también podría encontrar útiles algunas de las exposiciones de Franz Lemmermeyer, por ejemplo. Cónicas: las curvas elípticas de los pobres.

Por último, nótese que la aproximación puede derivarse de forma puramente algebraica de la siguiente manera.

Dadas las aproximaciones inferior y superior a una raíz cuadrada, podemos obtener una aproximación inferior mejor $\rm\ p'\ $ por $\:$ "componer" $\:$ ellos, $\ $ a saber:

TEOREMA $\rm\displaystyle\quad\ \ q\ >\ \sqrt d\ > \ p\ \ \:\Rightarrow\:\ \ \sqrt d\ > \ p'\ >\ p\quad\ \ for\quad\ p' \:=\ \frac{p\:q+d}{p+q} $

Prueba: $\rm\quad\displaystyle 0\ \: >\ (q-\sqrt d)\ \ (p-\sqrt d)\ =\ p\:q+d - (p+q)\:\sqrt d\ \ \Rightarrow\ \ \sqrt d\ >\ p'$

Por último $\rm\quad\quad\displaystyle p'-p\ =\ \frac{p\:q+d}{p+q} - p\ =\ \frac{\ d - p^2}{p+q}\: >\ 0\ \ \Rightarrow\ \ p'\ >\ p$

Answer 3

Yo tenía esta misma pregunta.

Para una explicación muy clara, véanse las páginas 25 y 26 de esto.

Answer 4

Esta pregunta está duplicada. Véase 1 . Lo contesto allí, pero lo repetiré parcialmente.

No. Esto no es aleatorio. Es simple geometría analítica. Uno está tratando de encontrar la raíz de la ecuación $f(x)=x^2-2$ . Se parte de una $p$ . Ahora, toma el punto $(2,2)$ en el gráfico. Forma la cuerda entre $(p,f(p))$ y $(2,2)$ resolver la intersección de la cuerda con la $x$ -y esa es la fórmula del conejo de la chistera de Rudin. La imagen está aquí: https://ggbm.at/nkfcPUB4