Las raíces de la unidad y de la función $\mu$

Question

Necesito demostrar que para cada entero positivo $n$ la suma de los primitivos $n$th raíces de la unidad en la $\mathbb{C}$ $\mu(n)$ donde $\mu$ es la función de Möbius.

Answer 1

¿Sabe usted $$\sum_{d\mid m}\mu(d)=1{\rm\ if\ }m=1,\,\,=0{\rm\ else}$$ The sum of the primitive $n$th roots of unity is $$\sum_{\gcd(k,n)=1}e^{2\pi ik/n}=\sum_1^n\sum_{d\mid\gcd(k,n)}\mu(d)e^{2\pi ik/n}=\sum_{d\mid n}\mu(d)\sum_0^{(n/d)-1}e^{2\pi idk/n}$$ The inner sum os the sum of all the $m$th roots of unity where $m=n/d$, so it's zero except for $d=n$ when it's $1$. So, the original sum evaluates to $\mu(n)$.

Answer 2

Deje $\theta$ denotar la primera $n$th raíz primitiva: $\theta:=e^{2\pi i/n}$.

1. Si $n=p$ es primo, $\mu(p)=-1$ y cada una de las $0\ne a<p$ es relativamente primer a $p$, por lo que esta $\theta^{a}$ es primitivo $p$th raíz. La suma de todos los $n$th raíces siempre es $0$ (porque si multiplicamos por $\theta$, no cambia). Así que se pierda sólo el $\theta^0=1$, por lo tanto la suma es $-1$.
2. Si $n=p^k$ ($k\ge 2$), a continuación, $\mu(n)=0$ y exactamente el $p\cdot a$ elementos tienen en común divisor con $n$, por lo que $$\sum_{\theta^u\text{ prim.root}}\theta^u=\sum_{u\ne a\cdot p}\theta^u = \sum_{u=0}^{n-1}\theta^u-\sum_{v=0}^{\frac np-1} \theta^{pv} $$ Puede usted continuar?
3. Usted también necesita mostrar que ambas funciones en cuestión son multiplicativo, es decir, siempre que $\gcd(a,b)=1$, tenemos $$\mu(ab)=\mu(a)\cdot\mu(b) $$ y lo mismo para la otra función.

A partir de estos la proposición de la siguiente manera.