Deje $X$ ser un espacio métrico tal que para todo par de abiertos disjuntos conjuntos de $U$ $W$ tenemos $\overline{U} \cap \overline{W} = \emptyset$. Cómo demostrar a $X$ es un espacio discreto?
Respuesta
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La idea básica es mostrar que si hay un no-punto aislado, debe haber dos abiertos disjuntos establece que ambos tienen ese punto como un punto límite. Una manera de hacerlo es tomar una sucesión convergente a un no-punto aislado y poner distintos bloques abiertos alrededor de los números impares y los pares de términos.
En más detalle, supongo que el $X$ no es discreto; entonces habrá un punto de $x\in X$ que no está aislado. Pick $x_0 \in N(x,1) \setminus \{x\}$, el open de bola acerca de $x$ radio $1$ menos que el punto de $x$, vamos a $r_0 = d(x,x_0)/3$ donde $d$ es la métrica, y deje $V_0 = N(x_0,r_0)$. Ahora coger $x_1 \in N(x,r_0)$, vamos a $r_1 = d(x,x_1)/3$, y deje $V_1 = N(x_1,r_1)$. En la etapa de $n$ $n>0$ pick $x_n \in N(x,r_{n-1})$, vamos a $r_n = d(x,x_n)/3$, y deje $V_n = N(x_n,r_n)$. Se puede comprobar que la secuencia de $\langle x_n:n\in\omega\rangle$ converge a $x$, y el abierto de los conjuntos de $V_n$ son pares distintos.
Deje $U = \bigcup\limits_{n\in\omega} V_{2n}$ y $W = \bigcup\limits_{n\in\omega}V_{2n+1}$; $U$ y $W$ son distintos bloques abiertos, por lo $\operatorname{cl}U \cap \operatorname{cl}W = \varnothing$. Pero $\langle x_{2n}:n\in\omega\rangle$ $\langle x_{2n+1}:n\in\omega\rangle$ ambos convergen a $x$, lo $x\in \operatorname{cl}U \cap \operatorname{cl}W$, una contradicción.
