¿Cuál sería el ejemplo de un subconjunto abierto correcta $S \subsetneq \mathbb R$ tal que $\mathbb{Q} \subsetneq S$?
Respuestas
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Davide Giraudo
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un) $A_k:=\bigcup_{j=1}^{+\infty}(r_j-2^{-j-k},r_j+2^{-j-k})$ donde $\{r_j\}$ es una enumeración de los racionales. Esto demuestran que tal que pueda tenerse juego tan pequeño (en medida) como queramos.
b) tomar $O_n:=(-1/n,1-1/n)$; entonces $\{O_n,n\in\Bbb N^*\}$ es una cubierta abierta de $[0,1)$ que no tiene ningún subcover finito.
Un ejemplo de tal sistema es $$( - \infty , \sqrt{2} ) \cup ( \sqrt{2} , + \infty ) = \mathbb{R} \setminus \{ \sqrt{2} \}.$$ Of course, there is nothing special about $\sqrt{2}$, and choosing simply removing your favourite irrational number from $\mathbb{R}$ will result in another such set. Also, since any finite subset of $\mathbb{R}$ is closed, you can similarly remove any finite number of irrational numbers from $\mathbb{R}$ para obtener otro ejemplo de tal sistema.
