Tengo una pregunta respecto a las normas. Estoy buscando una comprensión intuitiva de lo normas. A partir de lo que sabemos hasta el momento, en cualquier espacio, si tengo una norma, entonces parece que me permite definir distancias. Es decir, si yo tengo dos puntos en el espacio, yo sé dónde están en relación uno con otro. Es la motivación que puedo especie de "clasificar" y discriminar dónde están las cosas una vez que tengo una métrica o una norma en el espacio? También, si el espacio no tiene una métrica o una norma, ¿qué significaría eso? Gracias
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Considere la posibilidad de la $l_{\infty}$ métrica en $\mathbb{R}^2$ que surge de una norma: $$d:\mathbb{R}^2 \times \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$$ $$((a_1,a_2),(b_1,b_2))\mapsto max\{|a_1-b_1|,|a_2-b_2|\}$$ Esta métrica puede ser aplicado a un tornero/a CNC de la máquina, por ejemplo.
Supongamos que tenemos un fichero automatizado de fabricación de la máquina que se mueve un taladro alrededor de la parte superior de una lámina plana de metal. La máquina se puede mover el taladro en dos dimensiones a lo largo de la hoja de metal antes de la inmersión y la perforación en el metal. Supongamos también que este movimiento es controlado por dos motores en el $x$ $y$ dirección que cada uno tiene la misma velocidad máxima.
Si usted tiene un particular diseño que usted desea que esta máquina para taladrar y que intenta minimizar el tiempo necesario para su fabricación, entonces usted quiere saber el tiempo que el simulacro se llevará a obtener de hoyo a hoyo. En este caso, si el movimiento de los motores se mueven al mismo tiempo, entonces el factor limitante que se ralentiza el sistema automatizado de simulacro no es la distancia euclidiana de un agujero a otro, pero la mayor de las $x$ $y$ distancias, sin importar el motor tarda más tiempo para mover el taladro en su dirección.
Así que en este caso, a pesar hasta en el orden que debe tener la máquina de taladrar los agujeros, no se preocupe acerca de la distancia euclidiana, pero en lugar de medir la distancia de un agujero a la siguiente con el $l_\infty$ métrica.
Esta es una aplicación de una métrica.
Una métrica que surge de una norma también tiene dos propiedades: $$d(x+c,y+c)=d(x,y)$$ $$d(\lambda x, \lambda y)=|\lambda|\cdot d(x,y)$$ La primera propiedad, la invariancia traslacional, significa que no importa donde el taladro en la actualidad, su distancia a un agujero que es, digamos, $2$cm hacia adelante y $1$cm a la derecha siempre será el mismo. No tendría sentido en este caso, si la distancia a un agujero que es $2$cm hacia adelante y $1$cm a la derecha dependía de donde la cabeza del taladro en la actualidad era!
La segunda propiedad, significa que un agujero que es $4$cm hacia adelante y $2$cm a la derecha sería exactamente el doble de lejos.
Espero que esto le da cierta intuición acerca de las propiedades y aplicaciones de medidas y normas.
jmans
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Considerando $\mathbb R^n$ con su estándar de estructura lineal y el interior de la norma dada por $x\cdot y=\sum _k x_ky_k$ la de Cauchy-Schwarz ($|x\cdot y|\le \|x\| \|y\|$) de la desigualdad permite definir los ángulos entre los vectores y relacionar el ángulo de las normas. Aquí la norma $\|x\|$ se define a ser $\sqrt {x\cdot x}$, es decir, del que se deriva el interior del producto.
Ahora la idea de la definición del producto interior la forma en que se viene a partir de la ley de los cosenos, por lo que es totalmente geométrica. Así, se puede decir que un espacio vectorial con un producto interior es un axiomatization de ángulos y longitudes.
La idea detrás de una normativa espacio es axiomatize longitudes, pero no los ángulos. Esto es importante por dos razones. La primera es que permite ignorar los ángulos cuando estos son irrelevantes. En segundo lugar, y algo más importante aún, muy a menudo un determinado espacio vectorial de interés, tales como el $\ell_p$ espacios para $p\ne 2$, no tiene una noción de ángulos, pero tiene una perfectamente buena norma que se definen en ella.
Una norma es suficiente para definir una métrica de la función y de esta manera obtener una topología en el espacio, por lo que tener una norma es importante.
Una forma muy saludable de pensar en una normativa espacio es como una fusión entre un espacio vectorial y un espacio métrico, de la siguiente manera. Una métrica en un espacio vectorial $V$ es la traducción invariante al $d(x+z,y+z)=d(x,y)$ para todos los vectores $x,y,z$. La métrica es homogéneo al $d(\alpha x, \alpha y)=|\alpha |d(x,y)$ para todos los vectores $x,y$ y escalares $\alpha$. Ahora es trivial comprobar que la métrica inducida por una normativa espacio de la traducción invariante y homogéneo. El hecho interesante es que cualquier traducción invariante y homogénea métrica define una norma en el espacio vectorial. Hay, pues, un bijective correspondencia entre las normas en un espacio vectorial $V$ y métricas de $V$, que es la traducción invariante y homogéneo.
