Las ecuaciones diferenciales lineales

Question

¿Cuáles son las más general de la distribución de soluciones de $u \in \mathcal{D}'(\mathbb{R})$ a

1. $-\frac{d^n u}{dx^n} + c_{n-1}\frac{d^{n-1}u}{dx^{n-1}} + ... + c_0 u = 0$;
2. $-x\frac{d^n u}{dx^n} + c_{n-1}x\frac{d^{n-1}u}{dx^{n-1}} + ... + c_0x u = 0$;

donde el $c_i$'s son constantes.

Para la primera, utilizando la definición de la distribución de derivados, llegué a la conclusión de que es suficiente para resolver el $n$th-orden de polinomio característico y corregir $u =$ función continua que es la solución a los diferentes operador $-\frac{d^n }{dx^n} + c_{n-1}\frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}} + ... + c_0 = 0$. Está bien ?

En cuanto a la segunda estoy atascado... ¿Cuál es la estrategia general para resolver un problema de este tipo ?

Answer 1

1. Soluciones serán suaves soluciones de $Lu=-\frac{d^n u}{dx^n} + c_{n-1}\frac{d^{n-1}u}{dx^{n-1}} + ... + c_0 u = 0$. Sí, ellos pueden ser obtenidos por la solución de la ecuación característica etc.

2. Soluciones de satisfacer $Lu=f$ donde$xf=0$$\mathcal{D}'(\mathbb{R})$. De ello se desprende que $\operatorname{supp} f=\{0\}$. Se sabe que sólo las distribuciones con un punto de apoyo (finito) de las combinaciones lineales de la delta-función y sus derivados: $f(x)=\sum_{k=0}^m a_k \delta^{(k)}(x)$. La ecuación de $xf=0$ está satisfecho sólo por $f(x)=a\delta(x)\!$. De manera que la ecuación se convierte en $Lu(x)=a\delta(x)$ y una solución general es $u_0+aG$ donde $u_0$ es una solución general de la ecuación homogénea $Lu=0$ $G$ es una solución fundamental de que el operador $L$.