Versiones cuantitativas del teorema ergódico

Question

¿Existe algún teorema general similar al teorema ergódico de Birkhoff, pero que ofrezca estimaciones cuantitativas sobre la tasa de convergencia o el tiempo medio de recurrencia (quizás con supuestos adicionales)? Tomemos el ejemplo de una "rotación irracional" en el círculo unitario: ¿existen estimaciones sobre el tiempo medio que tarda un punto en llegar a un determinado intervalo?

Sé que existen teoremas de este tipo para sistemas muy especiales (por ejemplo, para las cadenas de Markov tenemos la convergencia exponencial), pero ¿qué se puede decir de un sistema ergódico "genérico"?

Answer 1

La mejor estimación efectiva que conozco en general es el reciente e impresionante trabajo de Einsiedler-Margulis-Venkatesh. Proporcionan un decaimiento polinómico en el teorema ergódico (para flujos unipotentes y otros) en un conjunto de gran medida (realmente estimada) para cocientes de la mayoría de los grupos de mentira por retículos aritméticos.

Anteriormente había cosas como ésta: para superficies hiperbólicas cerradas, el error de la media temporal del flujo horócico de longitud $T$ es algo así como $S(f) T^{-\epsilon}$ donde $f$ es la función suave que está promediando, $S(f)$ es una norma de Sobolev, y $\epsilon$ depende del espectro de la superficie. (En este caso, cada punto es genérico para el flujo de horóscopos (por el teorema de Ratner), ¡y esta estimación efectiva es independiente del punto que utilices para la media!)

Véase el bonito estudio "An introduction to effective equidistribution and property (tau)", de Einsiedler, que se encuentra en su página web .

Estaría muy interesado en cualquier estimación mejor para los flujos en la hiperbólica aritmética $3$ -manifolds dada la información sobre el campo de trazas, el álgebra de cuaterniones, etc.

Answer 2

Para el caso concreto que mencionas de una rotación irracional del círculo, depende del número de rotación $r$ . Se puede obtener una convergencia asintótica lenta para algo como $$r=\sum{10^{-n!}}$$ (y puedes seguir añadiendo signos factoriales para que la convergencia sea arbitrariamente lenta).

En el otro extremo del espectro está el número de rotación igual a la proporción áurea. En este caso se sabe que para un número de Fibonacci $q$ Sólo se necesitará $q$ iteraciones para llegar a cada intervalo de la forma $[n/q, (n+1)/q]$ .

El comportamiento de un número irracional arbitrario se rige por su expansión de fracción continua. El libro de Milnor Dinámica en una variable compleja tiene una clara explicación.

Answer 3

El estudio "The rate of convergence in ergodic theorems" de A. G. Kachurovskii (Russian Math. Surveys 1996) enumera un buen número de resultados en este sentido que podrían interesarle. Incluye algunos resultados negativos: por ejemplo, si no recuerdo mal, para cualquier secuencia real positiva a _n =o(n) y cualquier sistema dinámico medible aperiódico, podemos encontrar una función medible f que tome sólo dos valores reales distintos con la propiedad de que las sumas ergódicas de f son o(n) pero no o(a _n ). Por otro lado, se presentan una serie de condiciones suficientes para que se cumplan las estimaciones de error polinómico en el teorema ergódico.

Answer 4

A. Leibman resultó ser un cuantitativa límite inferior para los promedios $\frac{1}{N}\sum_{n=0}^{N-1} \mu(A\cap T^{-n}A)$ en términos de $\mu(A)$ (nota: la suma comienza a $n=0$). El atado es $$ \frac{1}{N}\sum_{n=0}^{N-1} \mu(A\cap T^{-n}) \geq \sqrt{\mu(A)^2+(1-\mu(A))^2} + \mu(a)-1 $$ para todos los $N\geq 1$ al $T$ es una medida de preservación de la transformación de un espacio de probabilidad, y este es el mejor ejemplo enlazado.

Answer 5

Dolpogyat ha demostrado los índices de convergencia de los sistemas de Anosov (véase #4 aquí .)

Kac fue pionero en el estudio de los tiempos de recurrencia de los procesos estocásticos (véase aquí ).