No se alcanza la norma de un mapa lineal

Question

Demostrar que la norma del funcional lineal

$$\phi: l^1 \ni \{x_n \} \rightarrow \sum_{n=1} ^{\infty} (1 - \frac{1}{n} )x_n \in \mathbb{K}$$

es igual a uno pero no existe una secuencia $ \{x_n \} \in \mathcal{l}^1$ tal que $|| \{ x_n \} || \le 1$ y $| \phi ( \{ x_n \} ) | =1$

Mi problema es que no sé cómo demostrar que la norma es igual a uno - es fácil demostrar que es menor o igual $1$ .

Supongo que necesito construir una secuencia de elementos de $l^1$ cuyas normas tienden a uno.

Y cómo demostrar que no existe $\{ x_n \} \in l^1$ para el que el valor $1$ de la norma se alcanza?

¿Podría explicármelo, por favor?

Answer 1

Para la primera pregunta: Sea una secuencia definida por $x_m=1$ y $x_k=0$ para $k \neq m$ . Entonces, ¿qué ocurre cuando $m$ llega hasta el infinito?

Para la segunda pregunta: $$ | \phi ( \{ x_n \} ) | \leq \sum_{n=1} ^{\infty} |(1 - \frac{1}{n} )x_n| < \sum_{n=1} ^{\infty} |x_n| \leq 1. $$ La desigualdad estricta es cierta para cualquier secuencia en la que $||\{x_n\}|| \neq 0$ .

Answer 2

Denotemos $(e_n)_{n\in \mathbb{N}}$ la base canónica. Entonces $\phi (e_n)= (1-1/n)$ por lo que para cada $n\in \mathbb{N}$ , $\| \phi \| \geq (1-1/n)$ .

Para su segunda pregunta, observe que $|\phi (x) |\leq \sum |(1-1/n)x_n| < \sum |x_n | =1$ si $\|x \| = 1$ .

Answer 3

Pistas: Para demostrar que la norma es al menos $1$ pruébelo con los "vectores de base estándar" que tienen un único $1$ y todo lo demás $0$ . Para demostrar que no hay ningún miembro de $\ell^1$ cuando se alcance, tenga en cuenta que si $x_m \ne 0$ , $|\phi(x)| \le \|x\| - |x_m|/m$ .