Posibles Duplicados:
La densidad de un Conjunto en $\mathbb{R}$?Tengo que demostrar que muestran que $A=\{ \frac{m}{2^n}:m\in \mathbb {Z},n\in \mathbb {N}\} $ es denso en $\mathbb {R}$.
Un conjunto a es denso en $\mathbb {R}$ si $\overline A=\mathbb {R}$.
Pero también se $Y$ es un subconjunto de a $X$, podemos decir que el $Y$ es denso en $X$, si para cada a$x\in X$ , $y \in Y$ que es arbitrarias cerca de $x$.
Entonces ,tengo que probar que para cada $x \in \mathbb {R}$ ,hay un número de $\frac{m}{2^n}$ arbitrariamente cerca de $x$.Por lo $\forall \epsilon,x ,\exists y$ tal que $|y-x|<\epsilon$.
Me puse un poco estancado en este punto...Podría alguien darme una pista?Muchas gracias!
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Did
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Con el fin de demostrar que estos números de llamada de la diádica racionales, creo - son densos en $\mathbb R$, es suficiente para mostrar que cualquier número real es el límite de una secuencia de números de este tipo. Para un determinado $x \in \mathbb R$, considere la secuencia de $\big( \frac{\lfloor 2^n x \rfloor}{2^n} \big)$ donde $\lfloor \cdot \rfloor$ es el habitual "de mayor entero menor o igual a la" función.
John Martin
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Un pensamiento: Dado $\epsilon > 0$$x\in\mathbb{R}$, hay algunos racional, es decir $\frac{p}{q}$ que está dentro de $\epsilon/2$$x$. A continuación puede encontrar $m,n\in\mathbb{Z}$ tal que $|\frac{p}{q} - \frac{m}{2^n}| < \epsilon/2$?
Si es así, usted podría, a continuación, aplicar la desigualdad de triángulo.
Mhenni Benghorbal
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No se preocupe acerca de la downvote. Se trata de un ataque en mis respuestas.
Voy a esbozar la prueba para usted. Si $x$ es un número real, entonces uno puede encontrar $a_1$ $a_2 \in A$ de manera tal que, $$ a_1 < x < a_2 $$ La elección de $a_1 = \frac{m-1}{2^n} $ $a_1 = \frac{m+1}{2^n} $ da
$$ \frac{m-1}{2^n} < x < \frac{m+1}{2^n} \Rightarrow - \frac{1}{2^n}<x-\frac{m}{2^n} < \frac{1}{2^n} \Rightarrow \left|x-\frac{m}{2^n}\right|<\frac{1}{2^n}=\epsilon $$
