Hacer cualquier autores sistemáticamente distinguir entre "teoremas" (que tiene una 'prueba') y matemáticas 'creencias' (que tiene "pruebas")?

Question

Estoy interesado en la comprensión de la estructura lógica de las matemáticas - quiero saber cómo encaja todo. Para este fin, es interesante pregunte si alguno de los autores sistemáticamente distinguir entre "teoremas" (que tiene una 'prueba') y lo que podríamos llamar matemático 'creencias' (que tienen lo que podríamos llamar la 'evidencia').

Déjame que te explique la diferencia. Por cierto, esta pregunta está inspirada en Peter Smith respuesta aquí y Asaf Karagila el comentario de abajo.

Vamos a utilizar el siguiente ejemplo. Comenzar con el grupo de axiomas, y en buena medida, permite que el tiro en el supuesto de que el dominio de discurso es infinita (obteniendo de esta manera el infinito 'grupo de axiomas'). Podemos hacer esto junto a un nuevo símbolo de función $S(*)$ junto con los siguientes axiomas.

1. $\forall x\forall y[S(x)=S(y) \rightarrow x=y]$
2. $\exists x \forall y[S(y) \neq x]$

Bueno, que va a ser nuestro ejemplo. Ahora vayamos al punto.

Observar que el siguiente es un teorema de los infinitos grupo de axiomas: "para todos los $x$ y todos los $z$ existe $y$ tal que $xy=z$.' Además, sabemos que un teorema debido a que tiene una prueba formal de los axiomas.

Ahora considere la siguiente declaración: "para todos los $x$ y todos los $y$ tenemos $xy=yx$.' Casi nadie cree que esto es un teorema de los infinitos grupo de axiomas - no hay duda de que existen infinitos grupos que no son Abelian! Por lo tanto, la frase 'conmutatividad no puede ser deducido del grupo de axiomas' es una creencia. Y, diferentes personas se ofrecen diferentes pruebas en favor de esta creencia.

Por ejemplo, yo podría proceder de la siguiente manera. En primer lugar, me formalizar la declaración de que 'conmutatividad no puede ser deducido a partir de la infinita grupo de axiomas' en el lenguaje de la teoría de conjuntos. Entonces, puedo demostrar que el uso de ZFC, tal vez mediante la construcción de una infinita grupo que no es Abelian. O tal vez a través de otros medios. En cualquier caso, he utilizado los axiomas de ZFC para demostrar la formaliza-en-el-lenguaje-de-set-teoría de la versión de la declaración de 'conmutatividad no puede ser deducido a partir de la infinita grupo de axiomas.' Así que, esta es la evidencia de mi creencia. Pero, no es la prueba de que la creencia. Después de todo, ZFC puede ser inconsistente, o incluso si su consistente, sin embargo se puede demostrar que las declaraciones acerca de la aritmética que son falsas. Por tanto, repito, esto es 'simplemente' evidencia. Y, alguien puede producir la evidencia más fuerte, tal vez apelando a sólo un fragmento de los axiomas de ZFC, o tal vez por la formalización de la declaración de 'conmutatividad no puede ser deducido a partir de la infinita grupo de axiomas' en el lenguaje de la aritmética y demostrando que el uso de sólo PA. Si son capaces de hacer esto, entonces la evidencia es más fuerte que la mía.

Así, mientras todas las pruebas son, en cierto sentido, igual de bueno, no puede decirse lo mismo de la evidencia. No todas las pruebas se ha hecho igual. Si usted apela a una más débil de la teoría, entonces la evidencia es más fuerte. Por supuesto, hay un determinado socialmente punto de corte más allá de que nadie va a dudar de su evidencia. Eso está bien - todavía estamos mejor llamarlo 'evidencia' en lugar de 'prueba', como esbozaremos a continuación.

Bien, así que esa es la idea. Pero, ¿ cualquier autores deliberada y sistemática de hacer este tipo de distinción? Y, ¿me ayuda a aclarar la estructura lógica de su escritura? Además, si alguno de los lógicos, o filósofos de las matemáticas que han escrito sobre este tipo de cosas, yo estaría interesado en la lectura de sus cosas.

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Addendum. Es tentador argumentar que, si hemos de demostrar la consistencia de un primer orden de teoría utilizando un suficientemente débiles fundamentos, entonces esto es más que la evidencia de su consistencia, es la prueba. Por lo tanto, podríamos tratar de rescatar ciertas creencias y empezar a llamar a ellos teoremas.

Hay al menos 2 razones para luchar contra esta tentación.

En primer lugar, yo no creo que haya un lugar claro para trazar la línea entre lo que es seguro y de riesgo de las fundaciones. Por lo tanto, yo no creo que haya un lugar claro para trazar la línea entre las creencias que deben permanecer las creencias, y las creencias que estamos tan seguros de que podemos empezar a llamar a ellos teoremas. Así, en lugar de tratar de encontrar la ubicación perfecta para este hipotético de la línea y, a continuación, dogmáticamente obligando a nuestros algo arbitraria decisión sobre los otros, creo que es mejor simplemente dejar las creencias y teoremas como conceptos separados.

Esto me lleva a mi segundo punto, que es este. Demostrar un teorema es metodológicamente diferente a la acumulación de evidencia en favor de una creencia. En el primer caso, podemos comenzar inmediatamente tratando de demostrar el teorema de interés directamente a partir de los axiomas. Mientras que en el segundo caso, primero debemos elegir fundacional de la teoría en la cual proceder, debemos formalizar nuestra creencia de que una frase en el idioma de esa teoría, y sólo entonces empezamos tratando de demostrar algo.

Por lo tanto, me parece que la diferencia crucial entre las creencias y los teoremas no es cómo ciertos que de su verdad; sino que, metodológicamente, hemos de tratar con ellos de manera diferente. Por lo tanto la posibilidad de que haciendo hincapié en la creencia de/teorema de distinción podría ayudar a revelar el más profundo de la estructura lógica de las matemáticas, que es lo que me interesa.

Por cierto, la palabra "creencia" no es un gran ajuste para lo que estamos significado aquí. Tal vez sería mejor llamarlas 'blurgles" para evitar este problema. Así que bajo este punto de vista, los teoremas tienen pruebas, y blurgles admitir la evidencia.

Answer 1

Cuando usted cava lo suficientemente profundo, usted tiene que ejecutar en la creencia, o "evidencia". La razón es que usted tiene que parar en algún momento y te dices "Bueno, mi fundaciones parece algo sólido. Coincide con lo que yo pienso de las matemáticas debe estar trabajando, incluso si no es un muy adecuado fundaciones, que hace el trabajo, siempre y cuando creo en algo."

Del mismo modo, usted tiene que despertar y creer que estás vivo, y que existe de alguna manera. Usted no tiene ninguna prueba de eso. Sólo tienes pruebas muy circunstanciales. Su mente consciente indica que está recibiendo señales de un mundo exterior, y piensa que él está vivo. Pero nunca se puede saber con certeza. Si alguna vez experimentar con los alucinógenos, a continuación, usted fácilmente puede afirmar la veracidad de esta declaración. Llegamos a la conclusión de que la vida está ahí fuera y salimos de allí por algunos relativamente largos y relativamente coherente de la corriente de entrada.

La matemática es el mismo. Tienes que creer que si después de algunos corriente de entrada (en el caso de la lógica de primer orden y $\sf ZFC$ estamos hablando de casi un siglo de personas muy inteligentes cavar en la suciedad) que suena como una buena fundamentos de las matemáticas que están haciendo. A continuación, sólo tiene que creer que es consistente, pero en caso de que el grupo de la teoría y la unprovability de la conmutatividad de los axiomas básicos de la teoría de grupo, ha sido otorgado, porque sabemos lo que hay.

Por supuesto, usted es libre para sentir que la lógica de primer orden y $\sf ZFC$ no son buenos fundamentos. Usted es libre de elegir otras fundaciones. Tipo de teoría, de la categoría de teoría, de segundo orden de la aritmética, de Kripke-Platek la teoría de conjuntos, $\sf CZF$, $\sf ETCS$. Usted puede incluso rechazar todo lo demás, y a la conclusión de que las matemáticas debe estar basada en una sólida provability que en realidad podemos escribir hasta el último detalle y convertirse en un ultrafinitist.

Pero todo lo que se de ti, y la perspectiva filosófica que tiene en las matemáticas. Pero realmente sólo tienen que recordar que en algún momento usted realmente tiene que parar pussyfoot en torno a esta cuestión y empezar a hacer las matemáticas, o de lo contrario no eres un matemático eres un filósofo (que no es una mala cosa para sí, sino que es otra cosa).

Answer 2

Esta respuesta está relacionada con los comentarios de Andreas Blass por encima, pero creo que más aborda directamente el punto que estamos tratando de hacer. Vamos a usar YFFS como una abreviatura para "el favorito fundamentales del sistema".

La distinción que estamos haciendo es una válida. Es más fuerte que los que exhiben una prueba formal de que el grupo de axiomas que para demostrar que uno existe en YFFS. En el primer caso, tenemos la prueba, mientras que el segundo se basa en YFFS "decir la verdad" sobre el grupo de axiomas y sus consecuencias. Esto sería un problema si se realiza el grupo de teoría acerca de las consecuencias derivadas del grupo de axiomas.

No lo es! Un grupo es un objeto matemático (un conjunto, en conjunto con una operación binaria, satisfaciendo el grupo de axiomas) que viven en nuestra imaginado matemática universo (que puede ser codificado/interpretarse en YFFS). Un teorema acerca de los grupos es un teorema de matemáticas (que puede ser formalizado en el YFFS), acerca de estos objetos matemáticos.

Del mismo modo, la teoría de los números no es sobre el aspecto formal de las consecuencias de la PA - se trata de utilizar todas las herramientas de las matemáticas, para investigar las propiedades de la $\mathbb{N}$, que es un determinado objeto matemático.

Hay un par de razones para preferir este enfoque holístico (demostrando teoremas de YFFS acerca de los grupos) para el enfoque limitado (demostrando teoremas de $T_{\text{Groups}}$, el primer orden de teoría de grupos):

1. Más interesante teoremas acerca de los grupos no puede ser expresado en el primer orden lenguaje de los grupos. Bueno, como usted ha señalado en su pregunta que vinculados a lo anterior, se puede mover a una lengua diferente a la captura de los diferentes escenarios. Así que para cuantificar el exceso homomorphisms, usted puede agregar un nuevo tipo de funciones, y afirman que las cosas que ocupan este tipo se supone que las funciones etc. etc. Pero entonces usted tiene que comenzar desde cero, demostrando teoremas esta totalmente desconectado lógica de instalación - no hay ningún marco de referencia base para conectarlos.

2. No sólo son las diferentes situaciones que afectan a grupos desconectados el uno del otro, que también se pierda en las conexiones con otras áreas de las matemáticas completamente.

3. Demostrando mucho de nada directamente de $T_{\text{Groups}}$ y de sus teorías es muy difícil, por no mencionar tedioso!

Mi punto es que lo que ustedes llaman creencias son exactamente las mismas cosas como lo que la mayoría de las personas llaman teoremas (de las matemáticas), y con razón.

Ahora, hay algunas personas que están interesadas en los teoremas que son "más fuertes" de teoremas (de las matemáticas). El proyecto de inversión de las matemáticas es acerca de la comprensión de cómo buena parte de las matemáticas (es decir, cuánto de YFFS, que para revertir los matemáticos es generalmente de segundo orden de la aritmética) es realmente necesaria para demostrar un teorema. Al menos que usted use, la más robusta del teorema, en la forma en la que usted observó. Pero esto todavía está utilizando una fundacional del sistema, y que no proceda directamente de $T_{\text{Groups}}$. Yo no sé mucho acerca de los automatizado de los teoremas de la comunidad, pero me imagino que más restringido ajuste podría ser útil aquí.