¿Una fórmula de forma cerrada para la constante de normalización en las series autorregresivas normales?

Question

Dejemos que $Z_t = c_1Z_{t-1} + c_2Z_{t-2} + ... + c_nZ_{t-n} + c\epsilon_t$

donde $Z_t, \epsilon_t \sim \mathtt{N}(0,1)$ son variables iid y $Z_s \sim \mathtt{N}(0,1)$ para todos $s$ .

Dados los valores de $c_i$ para $i = 1 ...n$ ¿existe una fórmula de forma cerrada para $c$ ?

Podemos deducir que $c = \sqrt{1 - c_1^2}$ para el caso $n = 1$ y que $c = \sqrt{1 - c_1^2 - c_2^2 -\frac{2c_1^2c_2}{1-c_2}}$ para el caso $n=2$ .

Así que parece que debería haber una buena fórmula de forma cerrada para $c$ . Sin embargo, no pude trabajar con el álgebra para $n = 3$ .

Pero creo que puede ser que no sepa lo suficiente en este tema y quizás sea un trabajo estándar y alguien ya lo haya resuelto.

Answer 1

No es extraño que no hayas calculado el caso de AR(3). Es bastante complicado. Y no, no hay una forma cerrada para el caso AR(n). Para el caso AR(3) empezamos con las ecuaciones de Yule-Walker Modelo AR wikipedia (donde $\gamma_j=\gamma_{-j}$ ):

• $\gamma_1=c_1\gamma_0+c_2\gamma_{-1}+c_3\gamma_{-2}=c_1\gamma_0+c_2\gamma_{1}+c_3\gamma_{2}\\ \gamma_2=c_1\gamma_1+c_2\gamma_0+c_3\gamma_{-1}=c_1\gamma_1+c_2\gamma_0+c_3\gamma_{1}\\ \gamma_3=c_1\gamma_2+c_2\gamma_1+c_3\gamma_{0}$

  • A continuación, multiplicamos la expresión AR(3) por $Z_t$ y tomar la expectativa: $ E[Z_t^2]=c_1E[Z_tZ_{t-1}]+c_2E[Z_tZ_{t-2}]+c_3E[Z_tZ_{t-3}]+c^2\Rightarrow \\ \gamma_0=c_1\gamma_1+c_2\gamma_2+c_3\gamma_3+c^2$

  • De Yule-Walker obtenemos: $ \gamma_1=\frac{c_1+c_2c_3}{1-c_2-c_1c_3-c_3^2}\gamma_0\\ \gamma_2=\left(\frac{c_1(c_1+c_2c_3)+c_3(c_1+c_2c_3)}{1-c_2-c_1c_3-c_3^2}+c_2\right)\gamma_0\\ \gamma_3=\left(\frac{(c_1^ 2+c_3c_1+c_2)(c_1+c_2c_3)}{1-c_2-c_1c_3-c_3^2}+c_2+c_3\right)\gamma_0$

  • Si se introducen en la ecuación anterior (el segundo punto) se obtiene lo que se desea estableciendo $Var[Z_s]=\gamma_0=1$ .

  • En el libro de Hamilton sobre series temporales (p59) escribe que las soluciones para $\gamma_j$ tiene la forma: $\gamma_j=g_1\lambda_1^j+g_2\lambda_2^j+\cdots+g_p\lambda_p^j$

  donde los valores propios son las soluciones de $\lambda^p-c_1\lambda^{p-1}-c_2\lambda^{p-2}-\cdots-c_p=0$ (Este es exactamente el método descrito en el documento que el usuario Hunaphu ha añadido). Así que mi opinión es que estas ecuaciones serán muy complicadas para $p=5$ o superior ya que no existe ninguna fórmula para la solución de una ecuación de grado cinco o superior. Hay que resolverla mediante, por ejemplo, funciones elípticas o funciones theta. Así que para encontrar una solución general para el caso AR(n) hay que encontrar una solución general para la ecuación algebraica de grado n, que no existe.