Calcular el límite de $\frac{\cos(x)-1}{x}$ $x \rightarrow 0$

Question

Muestran que el $\lim \limits_{x \to 0}\frac{\cos(x)-1}{x}=0$

Mi intento

$$\begin{align} \lim \limits_{x \to 0}\frac{\cos(x)-1}{x}*\frac{\cos(x)+1}{\cos(x)+1}&=\lim \limits_{x \to 0}\frac{1-\cos^2(x)}{x(1+\cos(x))}\\\\ &=\lim \limits_{x \to 0}\frac{\sin^2(x)}{x(1+\cos(x))}\\\\ &=\lim \limits_{x \to 0}\frac{\sin(x)}{x}*\frac{\sin(x)}{1+\cos(x)}\\\\ &=1*\frac{0}{2}\\\\ &=0 \end{align}$$ $$QED$$

Desde $\lim \limits_{x \to 0}\frac{\sin(x)}{x}=1$ por el teorema del sandwich.

sé que esto es correcto sin embargo, me gustaría si alguien podría enseñarme el natural argumento de usar el poder de la serie en su lugar.

Recordemos la definición de la función coseno por el poder de la serie:

$$\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{(2n)!}x^{2n}, \forall x \in \mathbb R$$

También puede que alguien me muestre cómo demostrar que el radio de convergencia de el coseno de alimentación de la serie es $$\infty$$

Answer 1

Si usted insiste en el poder de la serie:

$$\cos x=1-\frac{x^2}2+\frac{x^4}{24}-\ldots\implies \cos x-1=x\left(-\frac x{2}+\frac{x^3}{24}-\ldots\right)\implies$$

$$\frac{\cos x-1}x=\left(-\frac x{2}+\frac{x^3}{24}-\ldots\right)=-\frac x2+\mathcal O(x^3)\xrightarrow[x\to0]{}0$$

Answer 2

Tenga en cuenta que $\cos(x)=\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^nx^{2n}}{(2n)!}$. Por lo tanto, podemos escribir

$$\frac{\cos(x)-1}{x}=\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^n x^{2n-1}}{(2n)!} \tag 1$$

Por lo tanto, en cuanto el orden más bajo de energía en la serie es $1$, todos los términos enfoque de $0$$x\to 0$.

Curiosamente, de inmediato nos han de $(1)$ que

$$\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos(x)}{x^2}=\frac12$$

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Segunda Pregunta:

El radio de convergencia para la alimentación de la serie para la función coseno se puede encontrar utilizando la prueba de razón. Tenga en cuenta que la serie converge cuando

$$\lim_{n\to \infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|\le1$$

donde $a_n=\frac{(-1)^nx^{2n}}{(2n)!}$. Procedimiento vemos que

$$\lim_{n\to \infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\lim_{n\to \infty}\frac{x^2}{(2n+2)(2n+1)}=0$$

para todos los $x$. Por lo tanto, el radio de convergencia es, de hecho,$\infty$.

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A un LADO:

Tenga en cuenta que $1-\cos(x)=2\sin^2(x/2)$. Por lo tanto, podemos escribir

$$\frac{\cos(x)-1}{x}=-\underbrace{\left(\frac{\sin(x/2)}{x/2}\right)}_{\to1}\,\underbrace{\sin(x/2)}_{\to0}$$

Answer 3

Sugerencia:

el uso de la serie de $\cos x$ usted tiene: $$ \cos x-1 =-1 +\cos x= -1+1-\frac{x^2}{2!}+o(x^3)= -\frac{x^2}{2}+o(x^3) $$