Si $\int f \bar g \, d \mu \leq \|g\|$ para todos cuadrado integrable $g$, no se sigue que la $f$ es de cuadrado integrable?

Question

Deje $(X, \mu)$ ser un espacio medible. El Cauchy-Schwarz desigualdad nos dice que si $f \in L^2(X)$, $|\int_X f \bar g\, d\mu|$ es delimitada como $g$ rangos de los elementos de la $L^2(X)$ norma $1$.

Me preguntaba si el siguiente parcial conversar sostiene

Deje $f$ ser un complejo de valores mensurables de la función en $X$. Supongamos que para todos los $g \in L^2(X)$ norma $1$, la desigualdad de $|\int_X f \bar g \, d\mu| \leq 1$ mantiene. A continuación, $f$ es de cuadrado integrable. (es decir,$f \in L^2(X)$)

Answer 1

TrialAndError la sugerencia de arriba era todo lo que necesitaba. Podemos definir un funcional lineal por $x^*(g) = \int_X g \bar f \, d\mu$. La condición de la que da ese $x^*$ está delimitada desde $\|x^*(g)\| \leq \|g\|$ todos los $g \in L^2(x)$. Por la representación de Riesz teorema, no es $f_0 \in L^2(X)$ tal que

$$\int_X g \bar{f_0} \, d\mu =x^*(g) = \int_X g \bar f \, d\mu$$

Así obtenemos que para cualquier $g \in L^2(X)$, $\int_X g \overline{(f_0 - f)} \, d\mu = 0$. Esto es suficiente para concluir que $f=f_0$.e. en el caso de que $X$ $\sigma$- finito, al menos, lo cual es suficiente para mis necesidades.