Estoy leyendo un texto y tengo curiosidad por saber cómo ciertas aproximaciones fueron alcanzados.
La primera función de aproximaciones es: $$ 1- \frac{1}{2p}((1+p)e^{\frac{-y}{x(1+p)}} - (1-p)e^{\frac{-y}{x(1-p)}}) \approx \frac{y^2}{2x^2 (1-p^2)}$$
cuando $y \ll x$. Tenga en cuenta que traté de usar la aproximación $e^x \approx 1+x$, cuando x es pequeño, pero todo lo que obtuve fue la conclusión a la que $1- \frac{1}{2p}((1+p)e^{\frac{-y}{x(1+p)}} - (1-p)e^{\frac{-y}{x(1-p)}}) \approx 0$.
La segunda función de aproximación es: $$ 1-e^{\frac{-y}{x}}(1-Q(a,b)+Q(b,a)) \approx \frac{y^2}{x^2 (1-p^2)}$$
cuando $y \ll x$, donde $Q(a,b) = \int_b^\infty e^{-\frac12 (a^2 + u^2)} I_0(au) u \, du$, $b = \sqrt{\frac{2y}{x(1-p^2)}}$, $a = bp$, $I_0$ es una modificación de la Función de Bessel de primera especie. También es un hecho conocido que la $$ Q(b,0) = 1$$ and $$ Q(0,b) = e^{-\frac{b^2}{2}}$$ I have tried to assume $$ a = 0$$, since $a = bp$ and $b$ is small, $ p$ is a number between 0 and 1. However, it is not clear how $(1-p^2)$ is in the denominator and not $(1-p^2)^2 $, which would be closer to the traditional $e^x$ aproximación.
Consejos sobre cómo estas aproximaciones fueron derivados se agradece. Gracias.
