Probando el límite en $\infty$ de la derivada $f'$ es $0$ si éste y el límite de la función $f$ existe.

Question

Supongamos que $f$ es diferenciable para todo $x$ y que $\lim_{x\to \infty} f(x)$ existe.

Demostrar que si $\lim_{x\to \infty} f(x)$ existe, entonces $\lim_{x\to \infty} f(x) = 0$ y, además, dar un ejemplo en el que $\lim_{x\to \infty} f(x)$ no existe.

No sé cómo demostrar la primera parte, pero para la segunda, ¿una función como $\sin(x)$ ¿Satisfacer el problema?

Answer 1

Suponiendo que ambos límites existen, aplica la regla de L'Hospitals:

$$L= \lim_{x \rightarrow \infty}f(x) = \lim_{x \rightarrow \infty}\frac{e^xf(x)}{e^x}\\=\lim_{x \rightarrow \infty}[f(x) + f'(x)] = L + \lim_{x \rightarrow \infty} f'(x) , $$

y concluir que $ \lim_{x \rightarrow \infty} f'(x)= 0$ .

Alternativamente, por el MVT hay un punto $\xi_x \in(x,x+1)$ tal que

$$ f(x+1)-f(x)=f'(\xi_x)$$

Si $f'(x) \rightarrow L'$ , entonces para cada $\epsilon > 0$ hay un $K>0$ tal que $|f'(x) - L'| < \epsilon$ cuando $x > K$ . Como $\xi_x > x > K$ se deduce que $|f'(\xi_x) - L'| < \epsilon.$

Por lo tanto,

$$ L'=\lim_{x \rightarrow \infty}f'(x)=\lim_{x \rightarrow \infty}f'(\xi_x)=\lim_{x \rightarrow \infty}[f(x+1)-f(x)]=0.$$

Answer 2

Si $\lim_{x\rightarrow\infty}f'(x)=c$ fuera algún número positivo, eso implicaría, para algunos $0<k<c$ y todo lo suficientemente grande $x$ que $f'(x)>k$ . Piensa en lo que esto significa intuitivamente y por qué esto es inconsistente con $f$ convergentes.