Todo regular cubriendo las proyecciones del producto de la cuña de $\mathbb{RP}^3$ $S^1$

Question

Estoy estudiando para una topología de examen. Una pregunta en un examen del papel de un año anterior es:

Comenzando con la cobertura universal, describir todos los regulares que cubren las proyecciones de $\mathbb{RP^3}\vee S^1$.

El universal, portadas de $\mathbb{RP^3}$ $S^1$ $S^3$ $\mathbb{R}$ respectivamente. Creo que la universalización de la cobertura de $\mathbb{RP^3}\vee S^1$ es el "árbol fractal" espacio que consta de muchos (contables) copias de $S^3$ unidos entre sí por los bordes, donde cada copia de $S^3$ tiene dos puntos opuestos, cada uno conectado a dos bordes, y no hay bucles. Lo siento, mi descripción no es muy clara, pero si usted se imagina tomando el valencia-4 infinita gráfico del árbol que es la universalización de la cobertura de $S^1\vee S^1$ y la sustitución de cada vértice con una copia de $S^3$ de manera tal que los cuatro bordes entrantes adjuntar a dos puntos opuestos en la copia de $S^3$, dos bordes para cada punto, que es lo que quiero decir. La proyección de los mapas de cada copia de $S^3$ $\mathbb{RP}^3$y cada arista de a $S^1$ como era de esperar.

Por lo que el grupo fundamental de la $\mathbb{RP}^3\vee S^1$ es el producto libre $\mathbb{Z}_2\ast\mathbb{Z}$, pero no creo que la pregunta tiene la intención de que me explícitamente calcular todos los subgrupos normales de este grupo, ya que es una especie de fuera del ámbito del curso y yo no sé por dónde empezar. (Si hay una manera fácil por favor hágamelo saber.) Así que sólo un tipo de pensamiento acerca de lo que simplificaciones de la universal de la cubierta de trabajo, que parece ser lo que la pregunta es lo que sugiere que hago. De todos modos, me encontré con dos familias de regular revestimientos:

• Obviamente, usted puede tomar la línea real y adjuntar una infinidad de copias de $\mathbb{RP}^3$ a lo largo de ella. O si en lugar de conectar la línea de retorno a sí mismo y tomar un número finito de copias, se obtiene una cubierta que es un círculo con $n\ge 1$ copias de $\mathbb{RP}^3$ conectado a lo largo de ella.

La segunda familia es la obvia la contraparte de estas, donde ha $S^3$ en lugar de $\mathbb{RP^3}$:

• En paralelo dos copias de la recta real que son "puente" por infinidad de copias de $S^3$ entre ellos. O, dos círculos concéntricos, en puente por $n\ge 1$ copias de $S^3$.

Esto es todo lo que se me ocurre, pero parece un poco a mano ondulado. No sé si yo podría demostrar que esto es de todas las cubiertas. (En realidad, no sé si esto es necesario.) Pero me inclino a creer que es, ya que intuitivamente parece que no trivial normal subgrupos de $\mathbb{Z}_2\ast\mathbb{Z}=&ltx,y|x^2=1>$ debe también vienen en pares (que puede ser cualquier número de $x$s en una palabra, y uno donde debe haber un número par de $x$s). Estoy en el camino correcto? Si hay algún proceso mecánico para encontrar todas las cubiertas de la universal que cubre debo haber perdido. Gracias. Si yo no tenía nada claro por favor se lo dices y voy a intentar explicar mejor o dibujar una imagen o algo.

Answer 1

No estoy seguro de cuál es la intención detrás de la pregunta, pero yo dudo mucho de que hay alguna forma más sencilla para enumerar las portadas de las $\mathbb{RP}^3 \lor S^1$.

Si $G$ es cualquier grupo finito, a continuación, $G$ es isomorfo a un cociente de $\mathbb{Z}_2\ast\mathbb{Z}$ si y sólo si $G$ puede ser generado por dos elementos, uno de los cuales cuadrados a la identidad. Cada una de dichas $G$ corresponde a un número finito sábana regular de la cubierta de $\mathbb{RP}^3 \lor S^1$, cuya estructura se asemeja a la de Cayley gráfico de $G$ con respecto a este set de generación de energía.

Por ejemplo, los pares de círculos de "puente" por copias de $\mathbb{RP}^3$ que se mencionan corresponden a los grupos de $\mathbb{Z}_2\times \mathbb{Z}_n$ (si los círculos son orientados en la misma dirección), o el diedro grupos de orden $2n$ (si los círculos son orientados en direcciones opuestas).

Entre otras cosas, la clase de los grupos de $G$ descrito anteriormente incluye cíclico de los grupos, los grupos de la forma $\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_n$, el diedro grupos $D_{2n}$, los grupos simétricos $S_n$, la alternancia de los grupos de $A_n$, el grupo de $\mathrm{PSL}(2,p)$ para cualquier prime $p$, y así sucesivamente. De acuerdo a la BRECHA, hay 344 grupos finitos con el fin de hasta 100 en esta clase, así que no creo que haya ninguna posibilidad realista de una simple enumeración.