Estoy tratando de encontrar el anillo de enteros de $\mathbb{Q}[\sqrt{17}]$ y se trata de determinar el conjunto $\{(a,b)\in\mathbb{Q}^2\mid 2a\in \mathbb{Z}, a^2-17b^2\in\mathbb{Z}\}$ . ¿Cómo puedo determinar este conjunto?
Respuestas
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Teorema: Si $d\equiv 1\pmod{4}$ entonces $\mathcal{O}_{\mathbf{Q}[\sqrt{d}]}=\mathbf{Z}\left[\frac{-1+\sqrt{d}}{2}\right]$ . Por lo demás, $\mathcal{O}_{\mathbf{Q}[\sqrt{d}]}=\mathbf{Z}[\sqrt{d}]$ .
Prueba: Dejemos que $\alpha=r+s\sqrt{d}\in\mathbf{Q}(\sqrt{d})$ . Entonces, $\alpha\in\mathcal{O}_{\mathbf{Q}[\sqrt{d}]}$ si $2r, r^2-s^2d\in\mathbf{Z}$ . Claramente $2r\in\mathbf{Z}$ Así que $4s^2d\in\mathbf{Z}$ y como $d$ es libre de cuadrados, $2s\in\mathbf{Z}$ . Sustituyendo $m=2r, n=2s$ obtenemos $r^2-ds^2\in\mathbf{Z}\implies 4|(m^2-dn^2)$ . Ahora bien, si $d\equiv 2,3\pmod{4}$ entonces $$m^2-dn^2\equiv m^2+2n^2, m^2+n^2\pmod{4}.$$ Obsérvese que para que sean divisibles por $4$ Debemos tener que $m,n$ son ambos pares, lo que ocurre si $r,s\in\mathbf{Z}$ Así se soluciona el caso en el que $d\not\equiv 1\pmod{4}$ .
Ahora bien, si $d\equiv 1\pmod{4}$ entonces $m^2-dn^2\equiv m^2-n^2\pmod{4}$ pero como $4|(m^2-n^2)$ si $m\equiv n\pmod{2}$ obtenemos $$\mathcal{O}_{\mathbf{Q}(\sqrt{d})}=\left\{\frac{m+n\sqrt{d}}{2}:m\equiv n\pmod{2}\right\}.$$ Ahora bien, tenga en cuenta que $$\frac{1}{2}(m+n\sqrt{d})=\frac{m+n}{2}+n\left(\frac{-1+\sqrt{d}}{2}\right).$$ Desde $m$ y $n$ tienen la misma paridad, $\frac{m+n}{2}$ es un número entero, por lo que $\mathcal{O}_{\mathbf{Q}(\sqrt{d})}\subset \mathbf{Z}+\frac{-1+\sqrt{d}}{2}\mathbf{Z}$ y para ver lo contrario basta con observar que desde $d$ es de la forma $4k+1$ , $\frac{1}{2}(-1+\sqrt{d})\in\mathcal{O}_{\mathbf{Q}(\sqrt{d})}$ así que hemos terminado. $\Box$
$17\equiv 1\pmod{4}$ Así que $\mathcal{O}_{\mathbf{Q}[\sqrt{17}]}=\mathbf{Z}\left[\frac{-1+\sqrt{17}}{2}\right]$ .
riza
Puntos
170
Dejemos que $D$ sea un número libre de cuadrados. El elemento $a+b\sqrt{D}\in\Bbb Q(\sqrt{D})=K$ tiene un polinomio mínimo
$$x^2-2ax+(a^2-Db^2).$$
Así, $a+b\sqrt{d}\in{\cal O}_K\Leftrightarrow a\in\frac{1}{2}\Bbb Z,a^2-Db^2\in\Bbb Z$ . Si $b$ no es un número entero, entonces puede $a$ ¿un número entero? Y, además, ¿cuál es el único denominador posible para $b$ ? Ahora trata de demostrar que $a,b$ pueden ser los tipos adecuados de fracciones si y sólo si $D$ es un residuo cuadrático mod $4$ .
