Un punto en el límite de $E$ si y sólo si pertenece a la clausura de ambos $E$ y su complemento.

Question

Deje $E$ ser un subconjunto de un espacio métrico $(S,d)$. Probar que:
Un punto en el límite de $E$ si y sólo si pertenece a la clausura de ambos $E$ y su complemento.

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Aquí es lo que yo pensaba:
Soy el primero tratando de entender lo que tengo que probar.
El límite de $E$ es el conjunto $E^- -E ^{\circ}$.
Un punto pertenece a $E^-$$(S-E)^-$, entonces pertenece a $E^- \cap (S-E)^-$.
Por lo tanto creo que tengo que probar que:
$$E^- -E ^{\circ}=E^- \cap (S-E)^-$$

Y ahora no estoy seguro de si hay alguna teoría de conjuntos de reglas que podría utilizar.
Intuitiva me gustaría decir que tengo que probar: $S-E ^\circ =(S-E)^-$. Es esto correcto ?
Y puedo sentir que esta última afirmación es correcta, pero no puedo probar esta rigoursly.

Podía alguien me ayude como puedo comprobar esta afirmación más rigourisly ?

Answer 1

Tienes toda la razón!

Tenga en cuenta que si un punto de $x$ es interior a $E$, entonces sin duda no está en $S-E$. De hecho, hay algunos $r>0$ de manera tal que cualquier punto de $S-E$ es separado de $x$ por una distancia de al menos $r$, lo $x$ no es un punto límite de $S-E$. Por lo tanto, $E^o$ $(S-E)^-$ son distintos, por lo que el $S-E^o$ está contenido en $(S-E)^-$.

Por otro lado, supongamos $x\in(S-E)^-$. Si $x\in S-E$,$x\notin E$, lo $x\notin E^o\subset E,$$x\in S-E^o$. De lo contrario, $x$ es un punto límite de $S-E$, así que para todos los $r>0$ hay un punto de $y_r\in S-E$ tal que $0<d(x,y_r)<r$. Por lo tanto, no abrir la pelota alrededor de $x$ es disjunta de a $S-E$, así que no abra la pelota alrededor de $x$ está contenido en $E$, lo $x\notin E^o$, y por lo $x\in S-E^o$. Por lo tanto, tenemos la otra inclusión.

Answer 2

Sí. $S-E^\circ=\overline{S-E}$ es correcta.

$x\notin E^\circ \iff $ no es toda la bola alrededor de $x$ dentro de $E$ $\iff$ todas las bolas alrededor de $x$ se cruzan $S-E$ $\ \iff x\in\overline{S-E}$.