Serie seno/coseno

Question

$$\frac{\sin²(1°) + \sin²(2°) + \sin²(3°) + .. + \sin²(90°)}{\cos²(1°) + \cos²(2°) + \cos²(3°) + .. + \cos²(90°)} = ?$$

Intenté usar múltiples identidades pero no pude simplificar la expresión. ¿Por dónde debería empezar?

Answer 1

CONSEJO: Para cada argumento $n^\circ$ tenemos $\sin^2n^\circ=\cos^2(90^\circ-n^\circ)$ , donde $n\in\{1,2,\dots, 89\}$ .

Answer 2

Una pista: Dibuje la gráfica de $\sin^2$ y $\cos^2$ entre $0$ y $90$ grados. Existe una simetría entre el numerador y el denominador. Para formalizarlo, utiliza $\sin n = \cos (90^o - n)$ . La respuesta final es simple o sería si $\cos^2 0^o$ también estaban en el denominador.

Answer 3

Porque $\sin(x)=\cos(90^\circ-x)$ y $\sin^2x+\cos^2x=1$ se puede colapsar la mayoría de los términos del numerador y del denominador por separado, y su fracción se simplifica a $$ \frac{44+\sin^2(45^\circ)+\sin^2(90^\circ)}{44+\cos^2(45^\circ)+\cos^2(90^\circ)} = \frac{44+1/2+1}{44+1/2+0} $$

Answer 4

$$\begin{align} &\frac{\sin^2 1+\sin^2 2+\sin^2 3+\dots+\sin^2 44+\sin^2 45+\sin^2 46+\dots+\sin^2 90}{\cos^2 1+\cos^2 2+\cos^2 3+\dots+\cos^2 44+\cos^2 45+\cos^2 46+\dots+\cos^2 90}\\ &=\frac{\sin^2 1+\dots+\sin^2 44+\sin^2 45+\sin^2 (90-44)+\dots+\sin^2 (90-1)+\sin^2 90}{\cos^2 1+\dots+\cos^2 44+\cos^2 45+\cos^2 (90-44)+\dots+\cos^2 (90-1)+\cos^2 90}\\ &=\frac{\sin^2 1+\dots+\sin^2 44+\frac{1}{2}+\cos^2 44+\dots+\cos^2 1+1}{\cos^2 1+\dots+\cos^2 44+\frac{1}{2}+\sin^2 44+\dots+\sin^2 1+0}\\ &=\frac{\overbrace{1+1+\dots+1}_{44\,\text{times}}+\frac{1}{2}+1}{\overbrace{1+1+\dots+1}_{44\,\text{times}}+\frac{1}{2}+0}\\ &=\frac{44+\frac{1}{2}+1}{44+\frac{1}{2}}\\ &=\frac{88+1+2}{88+1}=\frac{91}{89} \end{align}$$

Answer 5

$$\frac{( sin²(1) + sin²(2) + sin²(3) + .. + sin²(90) )}{ ( cos²(1) + cos²(2) +cos²(3) + .. + cos²(90) )} = \\ \frac{2}{2}*\frac{( sin²(1) + sin²(2) + sin²(3) + .. + sin²(90) )}{ ( cos²(1) + cos²(2) +cos²(3) + .. + cos²(90°) )}$$ así que intente por $sin^2x=\frac{1-cos2x}{2} \\cos^2x=\frac{1-cos2x}{2}$ así que $$\frac{1-cos2 +1-cos 4+1-cos 6+ ...+1-cos 180}{1+cos2 +1+cos 4+1+cos 6+ ...+1+cos 180}=\\ \frac{90-(cos 2+cos 4+cos 6+ ...+cos 180)}{90+(cos 2+cos 4+cos 6+ ...+cos 180)}$$ ahora ve que $$(cos 2+cos 4+cos 6+ ...+cos 180)=\\(cos 2+cos 178 )+(cos 4 +cos 176) +...(cos 44 +cos 46) +cos 90 +cos 180 =0 +0 +0+0+...+cos 90 +cos 180 =0+0+(-1)$$ así que $$\frac{90-(cos 2+cos 4+cos 6+ ...+cos 180)}{90+(cos 2+cos 4+cos 6+ ...+cos 180)}=\frac{90-(-1)}{90+(-1)}=\frac{91}{89}$$