¿Puede considerarse la convergencia como una forma de continuidad?

Question

Abreviaré "sostiene que" a "iht" y "tal que" a "sth".

Las siguientes preguntas están motivadas por la curiosidad.

Pregunta 1. ¿Existe una topología en $\mathbb{N}$ tal que para todos los espacios topológicos $Y$ y todas las secuencias $a : \mathbb{N} \rightarrow Y$ iht $a$ es continua si $a$ ¿es convergente?

Supongamos ahora que adjuntamos un elemento máximo, obteniendo así $\mathbb{N}' = \mathbb{N} \cup \{\infty\}$ .

Pregunta 2. ¿Existe una topología en $\mathbb{N}'$ sth para todos los espacios topológicos de Hausdorff $Y$ y todas las secuencias $b : \mathbb{N}' \rightarrow Y$ iht $b$ es continua si la restricción $a : \mathbb{N} \rightarrow Y$ es convergente y tiene límite igual a $b_\infty$ ?

Pregunta 3. Supongamos que las respuestas son ambas "sí". Ver $\mathbb{N}$ como un subconjunto de $\mathbb{N}',$ es la topología inducida en $\mathbb{N}$ la misma que la topología de la pregunta 1?

Answer 1

1) No. Supongamos que dicha topología en $\mathbb N$ y considerar la secuencia $a_n=1/n$ como una función $a:\mathbb N \to \mathbb R$ . Entonces $a$ es continua. Ahora, consideremos la misma función, pero cambiemos el codominio: $a:\mathbb N \to \mathbb R - {0}$ . Ahora $a$ no es continua. Pero la continuidad es una propiedad de la función que es independiente del codominio, así que eso es imposible.

2) Sí. Metrize $\mathbb N'$ con $d(m,n)=|1/m-1/n|$ (con la convención de que $1/\infty =0$ ). Entonces una secuencia $a:\mathbb N\to X$ , donde $X$ es un espacio topológico arbitrario, converge si se extiende a una función $a:\mathbb N'\to X$ . Si $X$ es Hausdorff, entonces los límites son únicos por lo que se cumple la condición.

Answer 2

Las otras respuestas muestran que 1) no funciona. Aquí hay algún "arreglo".

Dejemos que $O\subset \mathbb N$ sea abierto si y sólo si $O=\emptyset$ o si $\mathbb N-O$ es finito. Para cualquier espacio $Y$ y $b\in Y$ dejar $Y_b$ el localización de $Y$ en $b$ es decir $Y=Y_b$ como conjuntos y $O\subset Y_b$ abierto si y sólo si $O=\emptyset$ o $O\subset Y$ abrir con $b\in O$ .

Entonces tienes

$a:\mathbb N\to Y$ converge a $b$ si y sólo si $a:\mathbb N\to Y_b$ continuos.