La intuición detrás del teorema de Maschke

Question

Soy estudiante de pregrado de aprendizaje sobre el grupo de representaciones y Jóvenes de cuadros, y se vino a través del teorema de Maschke que indica;

Si $G$ es un grupo finito y $F$ es un campo que la característica de no dividir la orden de $G$, entonces cada finito dimensionales $G$-módulo a través de $F$ es completamente reducible

Muchas pruebas he mostrar esta demostrando una declaración equivalente que si $G$ $F$ son como arriba, y $H$ es un submódulo de un $G$-módulo de $V$, entonces existe un submódulo $H'$ $V$ tal que $V$ es el producto directo de $H$$H'$. Esto se hace mostrando $H'$ es el meollo de algunos homomorphism de $G$-módulos que se asigna a$H$$H$. Sin embargo, este enfoque no parece muy motivada en el sentido de que donde se hizo este homomorphism?

¿Alguien tiene una alternativa adecuada la prueba de pregrado? O, posiblemente, puede arrojar algo de intuición en el teorema? Gracias.

Answer 1

En realidad, creo que el enfoque puede ser hecho bastante bien motivados. Aquí es cómo me gusta ver lo siguiente: tenemos un $FG$-módulo de $V$ y un submódulo $H$, y nos gustaría saber que hay un $G$-estable complementar $H'$ (bajo ciertas circunstancias, por ejemplo, siempre si la característica de $F$ es el primer a $|G|$). Si un complemento existe, $V=H \oplus H'$ y la proyección en $H$ con kernel $H'$ $G$- mapa del módulo $V \rightarrow H$ a la izquierda inversa a la $G$-mapa del módulo incluyendo $H \hookrightarrow V$. A la inversa, dada una $G$-mapa del módulo de la izquierda inversa a esta inclusión, su núcleo será un complemento.

Ahora nos queda el problema de cómo encontrar un homomorphism. Aquí está la idea: considere el espacio vectorial $\mathrm{Hom}_F(V,H)$. Dentro de este espacio vectorial vivir muchas proyecciones $\pi$ a $H$. Nos gustaría encontrar uno que es un $G$-mapa del módulo, que es, tal que $g \pi g^{-1}=\pi$ todos los $g \in G$. Si usted fija la mirada en la ecuación por un segundo, queda claro que lo que realmente estás buscando es un $G$-punto fijo en $\mathrm{Hom}_F(V,H)$ donde $G$ hechos por conjugación. Ahora la honrada manera de encontrar un punto fijo para un grupo de acción está promediando---empezar con cualquier proyección en absoluto, y el promedio de todas las imágenes de los elementos de $G$. La condición en la característica es, precisamente, lo que le permite hacer esto!

Una cosa buena acerca de este punto de vista es que nos dice algo, incluso cuando la característica es que no se prime a la orden del grupo: se dice que usted debe realmente se preocupan por el functor de $G$-puntos fijos. Esta es una buena manera de motivar al grupo cohomology a primer año a los estudiantes de posgrado, en mi experiencia.