Hay una explicación intuitiva para los morfismos teorema de introductorio de álgebra abstracta?
La primera de Morfismos Teorema: Vamos a $K$ ser el núcleo del grupo de morfismos $f: G \to H$. A continuación, $G/K$ es isomorfo a $\text{Im } f$, y el isomorfismo $\psi : G/K \to \text{Im } f$ está definido por $\psi(Kg) = f(g)$.
Sigo los pasos de la prueba del teorema, pero encontrar el teorema muy nonintuitive conceptualizar.
Los cocientes montón elementos elementos que son los mismos de alguna manera, en una cosa. Quotienting $\mathbb{Z}$ por el subgrupo $3\mathbb{Z}$ pone todas las cosas que tienen el mismo resto al dividir por 3, en un solo conjunto. Así -5, 1 y 7 son todos diferentes elementos en $\mathbb{Z}$, y el coset $$\{-5,-2,1,4,7\cdots\}=1+3\mathbb{Z}$$ pone todo con 1 resto después de dividir por 3, en un solo conjunto.
Ahora considere que morfismos $f:G\to H.$ tratemos de conseguir un isomorfismo de ella. Queremos conseguir un bijective función. Podemos hacer surjective implica la restricción de la imagen. Por lo $f^*:G\to \text{Im}f$ $f^*(g)=f(g)$ es un surjective homomorphism.
Bien, pero ¿cómo podemos hacer es inyectiva? Muchas cosas están asignadas a la misma imagen, porque para cualquier elemento $k$ de los kernel, $f(kg) = f(g).$ De hecho, la pre-imagen de $f(g)$ $Kg.$ sea inyectiva, podríamos poner todo lo que se asigna a $f(g)$ juntos, de modo que por el de la construcción, sólo una cosa se pone asigna a cada elemento de la imagen (i.e siendo inyectiva). Esto significa, precisamente, teniendo en cuenta el cociente $G/K.$ Así que ahora si tenemos $\phi:G/K \to \text{im} f$ definido por $ \phi(Kg) = f(g)$, entonces es ciertamente surjective, una de morfismos y inyectiva así porque nos agruparon todas las cosas que utiliza para obtener enviado a $f(g)$ todo en un elemento.
Espero que yo pueda convencer de que el cociente de los grupos surgen de forma natural y que el teorema de isomorfismo es una muy básica y fácil de observación.
Deje $p: X \to Q$ ser un mapa de conjuntos. En realidad, sólo conjuntos. Deje $f : X \to Y$ ser otro mapa. Cuando podemos extender $f$ a un mapa de $\tilde{f} : Q \to Y$, es decir, un mapa de satisfacciones $\tilde{f} \circ p = f$? En otras palabras, queremos tener $\tilde{f}(p(x))=f(x)$. La unicidad es clara al $p$ es surjective, porque entonces cada elemento de a $Q$ tiene la forma $p(x)$ algunos $x \in X$, pero ya sabemos $\tilde{f}$ sobre estos elementos. Por el contrario, tenemos que comprobar si $\tilde{f}(p(x)) := f(x)$ declara una bien definida la función, es decir, que $p(x)=p(x')$ implica $f(x)=f(x')$. En otras palabras, $\ker(p) \subseteq \ker(f)$ donde $\ker(f)$ es la relación de equivalencia en $X$, el cual es definido por $(x,x') \in \ker(f) \Leftrightarrow f(x)=f(x')$. Estos trivial observaciones:
Si $p : X \to Q$ es un surjective mapa, un mapa de $f : X \to Y$ se extiende únicamente a un mapa de $\tilde{f} : Q \to Y$ si y sólo si $\ker(p) \subseteq \ker(f)$. Tenemos $\mathrm{im}(f)=\mathrm{im}(\tilde{f})$ $\tilde{f}$ es inyectiva si y sólo si $\ker(p)=\ker(f)$.
Además, si $\sim$ es una relación de equivalencia en $X$, entonces la proyección de $p : X \to X/\sim$ sobre el conjunto de clases de equivalencia tiene, por definición, $\sim$ como núcleo. Ahora, lo mismo vale para todas las estructuras algebraicas. Por ejemplo, tenemos:
Si $p : G \to Q$ es un surjective homomorphism de grupos, luego de un homomorphism $f : G \to H$ se extiende únicamente a un homomorphism $Q \to H$ si y sólo si $\ker(p) \subseteq \ker(f)$.
La prueba utiliza el conjunto de casos por encima y la observación de que $\tilde{f}$ es un homomorphism iff $f$ es un homomorphism, ya $p$ es surjective.
En el caso de grupos, se ha $(g,g') \in \ker(f) \Leftrightarrow f(g)=f(g') \Leftrightarrow f(g g'^{-1})=1 \Leftrightarrow g g'^{-1} \in \mathrm{Ker}(f)$, donde el último es el núcleo en el habitual grupo de teoría de sentido. De esto podemos ver que $\ker(p) \subseteq \ker(f)$ mantiene iff $\mathrm{Ker}(p) \subseteq \mathrm{Ker}(f)$. Cada subgrupo normal es el núcleo de una surjective homomorphism de grupos - esto es lo que la construcción de un cociente de grupos. Por lo tanto:
Si $G$ es un grupo y $N$ es un subgrupo normal de $G$, entonces no es un surjective grupo homomorphism $p : G \to G/N$$\mathrm{Ker}(p)=N$, con la siguiente propiedad: Un homomorphism $f : G \to H$ se extiende únicamente a un homomorphism $\tilde{f} : G/N \to H$ si y sólo si $N \subseteq \mathrm{Ker}(f)$. Tenemos $\mathrm{im}(\tilde{f})=\mathrm{im}(f)$ $\tilde{f}$ es inyectiva si y sólo si $N = \mathrm{Ker}(f)$.
Esta es una de las primeras propiedades universales, uno se enfrenta a la hora de estudiar matemáticas. Universal propiedades ayudan a entender la verdadera naturaleza de los objetos matemáticos. En este caso, es no importante (y, de hecho, a menudo sólo engañosa) que $G/N$ se compone de cosets. El universal propiedad anterior es en realidad lo que se usa y lo que es importante cuando se trabaja con grupos cociente. Expresa exactamente la idea de que $G/N$ es la pequeña extensión" de $G$ en el que los elementos están "muertos".
Por ejemplo, vamos a empezar con el grupo abelian $\mathbb{Z}$. Imagina todos los enteros alineados. Ahora queremos "matar" a algún entero positivo $n$, es decir, queremos forzar $n=0$. Esto significa que hemos de hacer que la línea de un círculo, ya que después de la $0,1,\dotsc,n-1$ encontramos de nuevo el mismo $n=0,n+1=1,\dotsc$ etc. Esto se formaliza en la construcción del cociente grupo $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$.
Como un caso especial de la universalización de la propiedad anterior obtenemos:
Si $f : G \to H$ es un homomorphism de grupos, no hay un único isomorfismo $\tilde{f} : G/\mathrm{Ker}(f) \cong H$ satisfacción $\tilde{f} \circ p = f$ donde $p : G \to G/\mathrm{Ker}(f)$ es la proyección.
Este es el primer teorema de isomorfismo. Como se puede ver, la "prueba" es en realidad sólo un montón de trivial observaciones. Pero la importancia de este teorema no puede ser sobrestimada. Como ya se ha indicado, que tiene de arbitrario estructuras algebraicas. Este teorema se utiliza en casi todas las páginas de un libro moderno sobre álgebra. Por lo tanto, no voy a tratar de enumerar todas las aplicaciones.
Permítanme mencionar sólo dos casos especiales:
Deje $n \geq 2$. El signum de una permutación es un homomorphism $\mathrm{sgn} : S_n \to \{\pm 1\}$. Es surjective (la transposición $(1 2)$ ha signum $-1$) y el núcleo es, por definición, la alternancia de grupo $A_n$. Por lo tanto, $S_n / A_n \cong \{\pm 1\}$.
Intuitivamente, $\mathbb{R}/\mathbb{Z}$ debe ser un círculo (como aquí los enteros son identificados y por lo tanto la recta real se repite itsself una y otra vez, lo que resulta en un círculo). De hecho, hay un homomorphism $(\mathbb{R},+) \to (\mathbb{C}^*,*)$, $t \mapsto \exp(2\pi i t)$. Tiene la imagen de $S^1 = \{z \in \mathbb{C} : |z|=1\}$ y el kernel es $\mathbb{Z}$. Por lo tanto, tenemos $\mathbb{R}/\mathbb{Z} \cong S^1$.
Tal vez vistazo a algunos ejemplos sencillos.
Considere la posibilidad de los grupos $G = (\mathbb{Z},+)$$H = (\mathbb{C}^*, \times)$. Definir $f : G \to H$$f(n) = (-1)^n$$n \in \mathbb{Z}$. Se puede comprobar que $f$ es un grupo de morfismos. Podemos ver que $\textrm{Im}(f) = \{-1,1\}$$\ker(f) = 2\mathbb{Z}$. En ese caso, el teorema establece que
Para el otro (similar) ejemplo, arreglar $n \in \mathbb{N}^*$ y definen $f : G \to H$$f(k) = e^{\frac{2ik\pi}{n}}$. Denotar $\mathbb{U}_n = \left\{1, e^{\frac{2i\pi}{n}}, e^{\frac{2i2\pi}{n}}, \ldots,e^{\frac{2i(n-1)\pi}{n}}\right\} = \{z \in \mathbb{C}, z^n = 1\}$. Entonces $\textrm{Im}(f) = \mathbb{U}_n$, $\ker(f) = n \mathbb{Z}$ y el teorema de los rendimientos de un isomorfismo $\psi : \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \to \mathbb{U}_n$ definido por $\psi(k+n\mathbb{Z}) = e^{\frac{2ik\pi}{n}}$ (como en el caso de $n = 2$, el valor de $e^{\frac{2ik\pi}{n}}$ sólo depende de la clase de $k$ modulo $n$, lo $\psi$ está bien definido).
De manera similar, considere la posibilidad de $G = (\mathbb{R},+)$, $H = (\mathbb{C}^*, \times)$ y $f: x \mapsto e^{i x}$. Tenemos $\text{Im}(f) = \{z \in \mathbb{C}, |z| = 1\}$$\ker(f) = 2\pi\mathbb{Z}$. En ese caso, el teorema se da un isomorfismo $\psi : \mathbb{R}/2\pi\mathbb{Z} \to \{z \in \mathbb{C}, |z| = 1\}$ $\psi(x + 2\pi\mathbb{Z}) = e^{i x}$ (una vez más, esto está bien definido debido a $e^{ix}$ sólo depende de "$x$ modulo $2\pi$"). Como cuestión de hecho, el recíproco de $\psi$ en el caso de que es lo que solemos llamar el argumento (el argumento de un número complejo se define únicamente "a un múltiplo de $2\pi$", que básicamente significa que realmente es un elemento de $\mathbb{R}/2\pi\mathbb{Z}$).
Para otro ejemplo, considere el $G = H = (\mathbb{C}^*, \times)$. Fix $n \in \mathbb{Z}$ $n \ne 0$ y definen $f : G \to H$$f(z) = z^n$. A continuación, $f$ es una de morfismos y $\textrm{Im}(f) = \mathbb{C}^*$ (la ecuación de $x^n = y$ siempre tiene una solución, porque la $\mathbb{C}$ es algebraicamente cerrado) y $\ker(f) = \mathbb{U}_n$. El teorema se le da un isomorfismo $\psi : \mathbb{C}^*/\mathbb{U}_n \to \mathbb{C}^*$ definido por $\psi(z\mathbb{U}_n) = z^n$. Usted podría pensar de $\psi^{-1}(z)$ $\sqrt[n]{z}$ pero porque no se $n$ opciones posibles para una $n^{\textrm{th}}$ raíz de $z$ (todos de los cuales sólo se diferencian por un elemento de a $\mathbb{U}_n$), no es un número bien definido, sino una clase modulo $\mathbb{U}_n$.
He aquí un intento de explicar por ejemplo. Tome la línea real $\Bbb{R}$, y a veces alrededor del círculo unitario como este: El intervalo de $[0, 2\pi]$ pliegues de una vez en sentido antihorario alrededor del círculo. El intervalo de $[2\pi, 4\pi]$ pliegues, una vez más, la superposición. Seguir esta infinitamente muchas veces con el resto de los intervalos de $[4\pi, 6\pi], ...$ también $[-2\pi, 0], ...$.
La función que nos dice que un punto en $\Bbb{R}$ sobre el círculo unitario es un homomorphism del grupo $\Bbb{R}$ con la operación $+$ para el grupo de $S^1$ (el círculo unitario) con la operación de rotación. (Esto es desde la adición de $\theta$ $\Bbb{R}$ corresponde a la rotación de $\theta$ radianes en el círculo.)
(Usted también puede pensar en el círculo unitario como el conjunto de los números complejos con el módulo de $1$. Este es un grupo con el número complejo producto como el grupo de operación).
Vamos a ver lo que el teorema dice acerca de este homomorphism:
Deje $K$ ser el núcleo del grupo de morfismos...
Bueno, por lo $K$ es un subgrupo de $\{\Bbb{R}, +\}$ que consiste de todos los números reales que ir hasta el punto en el círculo con ángulo de $0$. Por nuestra construcción, $K = 2\pi \Bbb{Z}$, lo que significa que todos los múltiplos enteros de $2\pi$. (Usted puede comprobar que este es un subgrupo.)
A continuación, $G/K$ es isomorfo a $\text{Im } f$...
La imagen de $\text{Im }f$ es fácil - esto es simplemente el círculo unidad. Así, el teorema dice que el círculo unitario es isomorfo al cociente del grupo de $\Bbb{R}/2\pi\Bbb{Z}$. El tiempo para recordar lo que el cociente de grupo.
El cociente grupo $\Bbb{R}/2\pi\Bbb{Z}$ se compone de los elementos de la forma $r + 2\pi\Bbb{Z}$ donde $r$ es un número real. Usted puede notar que $r$, $r+2\pi$, $r+4\pi$, y así sucesivamente, todos van para el mismo elemento del grupo. Para sumar o restar $2\pi$ a los miembros del grupo cociente es como girar el círculo por $2\pi$. De hecho - esto suena isomorfo.
Por lo tanto, nuestra morfismos divide la información acerca de los números reales en dos partes:
Observe que el kernel $K$ corresponde exactamente a la primera pieza de la información y el cociente grupo $G/K$ corresponde a la segunda pieza de información. Así, el teorema nos dice que si nos "borrar" de nuestro grupo la información en los morfismos del kernel, el resto de la información es exactamente la misma que la imagen de los morfismos.
...y el isomorfismo $\psi:G/K\to\text{Im }f$ está definido por $\psi(Kg)=f(g)$.
En nuestro caso, esto es $\psi(r+2\pi\Bbb{Z})=f(r)$. Lo que significa que puede tomar la posición de un número real en uno de los intervalos (olvidando que exacta intervalo fue en), y el uso que para encontrar la posición en el círculo que el punto va a que - y esto es una isomorfo mapa.
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