Trenzado logaritmo de la potencia de la serie

Question

Hace poco me encontré con una potencia de serie similar a la de la $\log(1-x)$ de la forma

$$ F(x)= \sum_{n=1}^\infty \frac{\psi(n)x^n}{n}, $$ donde $\psi$ es algunos de Dirichlet carácter. Alguien ha visto aquí una función como esta? Aquí están algunas de las observaciones que me han hecho:

1) El radio de convergencia es el mismo que para $\log(1-x)$, de modo que la potencia de la serie converge para $|x| < 1$.

2) Si $\psi(n)$ es la trivial characer mod $N$$F(x) = \sum_{n=1}^\infty \frac{x^n}{n}-\frac{x^{Nn}}{Nn}=-\log\left(\frac{1-x}{1-x^N}\right)$.

El siguiente caso interesante sería al $\psi$ es una ecuación cuadrática carácter. Yo estaría feliz acerca de cualquier referencia o de observación sobre estas funciones.

Answer 1

Una función de este tipo es en realidad una combinación de los logaritmos. Supongamos $\psi$ es un carácter de Dirichlet mod $N$, y deje $\zeta$ ser una primitiva $N$th raíz de la unidad. Las funciones de $a \mapsto \zeta^{ka}$$k=0, ..., N-1$, formar una base de $L^2(\mathbb Z/N\mathbb Z, \mathbb C)$, por lo tanto, no existen números de $b_k \in \mathbb C$ tal que

$$\psi(n) = \sum_{k=0}^{N-1} b_k \zeta^{kn}$$

para todos los $n\in \mathbb Z/N\mathbb Z$. Los números de $b_k$ son esencialmente sumas de Gauss - los coeficientes de Fourier de $\psi$. A continuación, su función es

$$-\sum_{k=0}^{N-1} b_k \log(1-\zeta^kx).$$

La observación de que no necesitamos ni el hecho de que $\psi$ es un personaje - que podría ser cualquier función periódica con un período de $N$, y la "torcida" logaritmo seguiría descomponer como en el anterior, con diferentes $b_k$'s.

Es una idea interesante, sin embargo. Por ejemplo, el valor en $x=1$ de su función es $L(\psi, 1)$, un número significativo de aritmética de interés.